A) Sea f : R −→ R una
función dos veces derivable.
Sabiendo que el punto de abscisa x = −2 es un
punto de inflexión de la gráfica de f(x) y que la recta de ecuación y = 16x +
16 es tangente a la gráfica de f(x) en dicho punto, determinar : f(−2), f′ (−2)
y f ′′(−2).
Por los datos del ejercicio
se tiene que el valor de f( - 2) es igual al valor de la recta evaluada en - 2.
Y = 16( - 2) + 16 = - 16
f( - 2) = Y = - 16
Para calcular f’( - 2) hay que
saber que la primera derivada en un punto es la pendiente de la recta que es
tangente a ese punto, por lo tanto la pendiente de la recta y = 16x + 16 es
f’( - 2).
F’( - 2) = 16
Dado que en f( - 2) hay un
punto de inflexión, por teoría se sabe que la segunda derivada de la función en
dicho punto es nula.
F’’( - 2) = 0
b) Determinar el área de la
región acotada limitada por la gráfica de la función g(x) = x ^ 4 + 4x ^ 3 y el eje
OX.
Para conocer el área primero
se deben encontrar los puntos de corte de la función con el eje X.
G(x) = x ^ 4 + 4x ^ 3 = 0
x1 = 0
x2 = - 4
Estos son los límites de la
función, por lo tanto se plantea una integran que va [ - 4, 0].
∫( x ^ 4 + 4x ^ 3)dx = (x ^ 5 / 5) + (4x ^ 4 / 4)
Evaluando en los límites de
integración se tiene que :
A = (0 ^ 5 / 5) + (4 * 0 ^ 4 / 4) –
[( - 4) ^ 5 / 5 + 4 * ( - 4) ^ 4 / 4] = 256 / 5 u ^ 2
PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID
CONVOCATORIA JUN 2013 - 2014 MATEMATICAS II.