Ejercicio 3 . Calificación máxima : 2 puntos. Dada la función f(x) = x 3 (x − 3)2 , se pide : a) (1 punto) Hallar las asíntotas de su gráfica. B) (1 punto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2012 - 2013 MATEMATICA II. Ayuda por favor.
En resumen
Esta es la solución dela respuesta alejercicio 3de la prueba de selectividadMadridconvocatoriajun 2012 - 2013deMatemáticaII : Dada la función : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Ydelarosatovar
Esta es la solución dela respuesta alejercicio 3de la prueba de selectividadMadridconvocatoriajun 2012 - 2013deMatemáticaII :
Dada la
función : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B3%7D%7D%7B%20%28x-3%29%5E%7B2%7D%20%7D%20" />
a) Buscamos las asíntotas - Verticales
x = 3
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%203%5E%7B-%7D%7D%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B3%7D%20%7D%7B%0A%28x-3%29%5E%7B2%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B27%7D%7B0%7D%20%3D%20%2B%5Cinfty" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%203%5E%7B%5D%7D%7D%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B3%7D%20%7D%7B%0A%28x-3%29%5E%7B2%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B27%7D%7B0%7D%20%3D%20%2B%5Cinfty" /> - Horizontales
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20-%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B3%7D%20%7D%7B%0A%28x-3%29%5E%7B2%7D%7D%20%3D%20-%20%5Cinfty" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B3%7D%20%7D%7B%0A%28x-3%29%5E%7B2%7D%7D%20%3D%20%2B%20%5Cinfty" />
∴ No existen asíntotas horizontales - Oblicuas : tomando en consideración la ecuación
general de la recta (y = mx + n)
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%20%3D%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20-%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bx%7D%20%3D%0A%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20-%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B3%7D%20-%206x%5E%7B2%7D%20%2B%209x%7D%20%3D%201" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=n%20%3D%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20-%5Cinfty%7D%20%28f%28x%29%20-%20mx%29%20%3D%0A%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20-%5Cinfty%7D%20%28%5Cfrac%7B%20x%5E%7B3%7D%7D%7Bx%5E%7B3%7D%20-%206x%5E%7B2%7D%20%2B%209x%7D%20-%20x%29%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=n%20%3D%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20-%5Cinfty%7D%20%28%5Cfrac%7B6x%5E%7B2%7D%20-%0A9x%7D%7Bx%5E%7B2%7D%20-%206x%5E%7B2%7D%20%2B%209x%7D%29%20%3D%206" />
∴ y = x + 6
b) Para sabercuál
es la ecuación de la recta tangente a f(x) para x = 2, debemos primero calcular
la derivada de f(x) y evaluarla en el punto.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%20%3D%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B3%7D%20-%209%20x%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%28x-3%29%5E%7B3%7D%0A%7D%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%20%3D%20f%27%282%29%20%3D%20%5Cfrac%7B%202%5E%7B3%7D%20-%209%20.2%5E%7B2%7D%20%7D%7B%0A%282-3%29%5E%7B3%7D%20%7D%20%3D%2028" />
Ahora sabemos que el punto de tangencia es
(2, f(2)) = (2, 8).
Sustituimos la pendiente en la ecuación de la
recta y el punto de tangencia para así encontrar la ecuación de la recta :
y - y₀ = m(x - x₀)
y - 8 = 28 (x - 2)
y = 28x - 48.
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