Ejercicio 4 . Calificación máxima : 2 puntos. Dados el punto P(1, 2, −1) y el plano π ≡ x + 2y − 2z + 2 = 0, sea S la esfera que es tangente al plano π en un punto P′ de modo que el segmento P P′ es uno de sus diámetros. Se pide : a) (1 punto) Hallar el punto de tangencia P′ . B) (1 punto) Hallar la ecuación de S. Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012 - 2013. Matemáticas II.
En resumen
A) Hallar el punto de tangencia P′. Para determinar el punto de tangencia P’ se debe interceptar la recta formada por PP’ con el plano π.
Ieon
A) Hallar el punto de
tangencia P′.
Para determinar el punto de
tangencia P’ se debe interceptar la recta formada por PP’ con el plano π.
Casualmente se tiene que la
normal del plano es el vector director de la recta PP’, por lo tanto se tiene
que :
Nπ = (1, - 2, 2) = Vd
Con el vector director y con
el punto P es posible definir la recta :
(x, y, z) = (1, 2, - 1) +
λ(1, - 2.
2)
Las coordenadas del punto P’
serían :
P’ (1 + λ, 2 - 2λ, - 1 + 2λ)
Ya que el punto pertenece al
plano, se sustituyen sus coordenadas en la ecuación de π :
π ≡ x + 2y − 2z + 2 = 0
1 + λ + 2(2 - 2λ) – 2( - 1 +
2λ) + 2 = 0
λ = - 1
Se sustituye el valor de λ
en las coordenadas de P’.
P’ (1 - 1, 2 – 2( - 1), - 1 +
2( - 1))
P’ (0, 0, 1)
b) Hallar la ecuación de S.
La ecuación de una
superficie esférica es :
R ^ 2 = (X – Xc) ^ 2 + (Y – Yc) ^ 2 + (Z – Zc) ^ 2
Las coordenadas del centro
son (Xc, Yc, Zc) y su radio es R.
Para determinar el centro de
la superficie esférica hay que encontrar el punto medio del vector PP’.
C (Xp + Xp’ / 2, Yp + Yp’ / 2,
Zp + Zp’ / 2)
C (1 + 0 / 2, 2 + 0 / 2, - 1 + 1 / 2)
C (1 / 2, 1, 0)
Ahora para determinar el
radio hay que dividir entre 2 la distancia del vector PP’.
PP’ = P’ – P = (0, 0, 1) –
(1, 2, −1) = ( - 1, - 2, 2)
|PP’| = √( - 1) ^ 2 + ( - 2) ^ 2 +
(2) ^ 2 = 3
R = |PP’| / 2 = 3 / 2
Sustituyendo los valores
encontrados en la ecuación de la superficie esférica se tiene que :
(3 / 2) ^ 2 = (X – 1 / 2) ^ 2 + (Y –
1) ^ 2 + Z ^ 2
X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 –X – 2Y – 2 = 0
Prueba de selectividad para
la comunidad de Madrid.
Convocatoria Jun 2012 - 2013.
Matemáticas II.
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