Ejercicio 4 ?

B) Esbozar la gráfica y =

f(x) determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) y sus

asíntotas.

En primera instancia se

determinan las asíntotas :

Primero se estudiarán las

asíntotas verticales, las cuales deben cumplir con lo siguiente :

X = C y Lím x - > a f(x) =

±∞

El evalúa el dominio de la

función :

D = R – {0}

Se calcula el límite de la

función para X = 0.

Para conocer si existe lím x - >0 f(x), se deben evaluar los límites laterales y comprobar que son

iguales :

lím x - >0 - [e ^ (1 / x)] = 0

lím x - >0 + [e ^ (1 / x)] = ∞

f(x) posee una asíntota

vertical cuando se acerca por la derecha.

Ahora se calculan las

asíntotas horizontales, las cuales deben cumplir que :

f(x) = C y Lím x - > ±∞

f(x) = K

Evaluando el límite :

Lím x - > ±∞ [e ^ (1 / x)] = 1

Existe una asíntota

horizontal en f(x) = 1

Al existir asíntota

horizontal, se descarta la posibilidad de la existencia de alguna asíntota

oblicua.

Ahora se estudia es

crecimiento y decrecimiento de la función :

Primero se determina la

derivada de la función :

f’(x) = - e ^ (1 / x) / x ^ 2

Para estudiar el crecimiento

y decrecimiento se evalúa de modo que f’(x) >0 (crece) y f’(x) < 0

(decrece).

Para el intervalo ( - ∞, 0) :

f’( - 1) = - 0, 37 < 0

(decrece)

Para el intervalo (0, ∞) :

f’(1) = - 2, 72 < 0

(decrece)

La función final está en la

imagen adjunta.

Prueba de selectividad para

la comunidad de Madrid.

Convocatoria Jun 2012 - 2013.

Matemáticas II.