Ejercicio 1 . Calificación máxima : 3 puntos. Dada la función f(x) = x x 2 − 4 + ln(x + 1) x + 1 , donde ln denota el logaritmo neperiano, se pide : a) (105 puntos) Determinar el dominio de f y sus asíntotas. B) (0075 puntos) Calcular la recta tangente a la curva y = f(x) en x = 0. C) (0075 puntos) Calcular Z f(x) dx. PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014 - 2015 MATEMATICA II Muchas gracias.
En resumen
Esta es la solución al ejercicio 1 de la Prueba de selectividad Madrid convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Romina281
Esta es la solución al ejercicio 1 de la Prueba de selectividad Madrid convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%20x%5E%7B2%7D%20-4%7D%20%2B%0A%5Cfrac%7Bln%28x%2B1%29%7D%7Bx%2B1%7D%20" />
a) Determinamos cual es el dominio de f(x) y sus
asíntotas
Tomando en consideración<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%7D%7B%20x%5E%7B2%7D%0A-4%7D%20" />, para que la función pueda existir x ≠ + / - 2.
Luego, partiendo de<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bln%28x%2B1%29%7D%7Bx%2B1%7D%20" />, para la función logaritmo neperianox > - 1.
Por lo que el Dom(f) = ( - 1, 2)∪ (2, ∞)
Asíntotas Verticales - Para x = - 2 no existen asíntotas verticales ya que este no es parte del dominio de f(x).
- Para x = 2 calculamos los siguientes limites :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5C%202%5E%7B-%7D%20%7D%20f%28x%7D%29%20%3D%20" /> - ∞
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5C%202%5E%7B%2B%7D%20%7D%20f%28x%7D%29%20%3D" /> + ∞ - Para x = - 1 calculamos los siguientes limites :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5C%20-1%5E%7B-%7D%20%7D%20f%28x%7D%29%20%3D%20" /> No existe
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5C%20-1%5E%7B%2B%7D%20%7D%20f%28x%7D%29%20%3D" /> - ∞
Asíntotas Horizontales - Para y = 0, realizamos el calculo del limite
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20f%28x%29%20%3D%200%20" />
Asíntotas Oblicuas :
No existen asíntotas oblicuas para f(x), debido a que ya existen asíntotas horizontales.
B) Para el calculo de la recta tangente a la curva y = f(x) en x = 0, se debe calcular la derivada de la función f(x) y luego evaluarla en el punto.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%20%3D%20%20-%5Cfrac%7B%20x%5E%7B2%7D%20%2B4%7D%7B%20%28%20x%5E%7B2%7D%20-%204%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7B1-ln%28x%2B1%29%7D%7B%20%28x%2B1%29%5E%7B2%7D%20%7D%20" />
Evaluamos primero la función original f(x) en el punto x = 0
f(0) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B0%7D%7B%200%5E%7B2%7D%20-4%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bln%280%2B1%29%7D%7B0%2B1%7D%20%3D%200%20%20" />
Luego, evaluamos la derivada f'(x) en el punto x = 0
[img = 10]
∴ y = [img = 11], siendo está la recta tangente a f(x)
c) Para calcular la integral de f(x)
[img = 12] = [img = 13]
Donde C simboliza cualquier constante.
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