Ejercicio 4. - Considera el plano π de ecuaci ́on mx + 5y + 2z = 0 y la recta r dada por x + 1 / 3 = y / n = z − 1 / 2 a) [1 punto] Calcula m y n en el caso en el que la recta r es perpendicular al plano π. B) [1’5 puntos] Calcula m y n en el caso en el que la recta r est ́a contenida en el plano π. Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 3 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
Lazoncec1iliahual
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 3 2014 - 2015, MATEMATICAS IIa)Como suponemos quela recta es perpendicular al plano, el vector dirección y el vector normal de dicha recta deben ser paralelos, esto quiere decir que sus componentes son proporcionales, de esta forma tenemos que :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bm%7D%7B3%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D%20" />
Por lo tanto, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%3D3%20%3B%20n%3D5%20" />
b)Si suponemos quela recta r está contenida en el plano π,
quiere decir que elvector dirección y el vector normal
son perpendiculares(producto
escalar igual a 0) y el punto de la recta debe pertenecer al plano.
Sisustituimos
el punto en la ecuación del planoobtenemos lo siguiente : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m.%28-1%29%20%2B5.0%2B2.1%3D0%0A" />⇒<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%3D2" />ahora, igualemos
el producto escalar de los vectores (m, 5, 2) y (3, n, 2) a 0.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=m.3%2B5.n%2B2.2%3D0%0A" />⇒<img src="https://tex.z-dn.net/?f=3m%2B5n%2B4%3D0%20" />⇒<img src="https://tex.z-dn.net/?f=6%2B5n%2B4%3D0%0A" /> ⇒<img src="https://tex.z-dn.net/?f=n%3D-2" />en conclusión : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=m%3D2%3B%0An%3D-2" />.
A) Calcula m en caso que la recta r es perpendicular al plano π. El vector director de la recta es : Vdr = ( - 3, 2, - 1) La normal del plano es : N = (6, - m, 2) Para que la recta r sea perpendicular al plano, se debe…
B) ¿Existe algún valor de m para el que la recta r esté contenida en el plano π? Se transforma la recta a su forma implícita. 2x – 2 = - 3y – 3 ; - x + 1 = - 3z – 6 2x + 3y = - 1 - x + 3z = - 7 Se adiciona la ecuación…
A) Determina la ecuación del plano que pasa por el punto P y es perpendicular a r. De la ecuación de la recta se debe extraer el vector director, el cual cumple con la condición de normal del plano según las exigencias…