Ejercicio 4. - Sea el plano π ≡ 2x + y − z + 8 = 0. A) [1’5 puntos] Calcula el punto P sim ́etrico del punto P(2, −1, 5) respecto del plano π. B) [1 punto] Calcula la recta r, sim ́etrica de la recta r ≡x − 2 / −2 = y + 1 / 3 = z − 5 / 1 respecto del plano π. Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2014 - 2015, Matematicas II.
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía,
Modelo 4 2014 - 2015, MATEMATICAS II
a)
Debemos calcular la ecuación para una recta que
pase por el punto P y a su vez sea perpendicular al plano, esto quiere decir
que el vector dirección de la recta será paralelo al vector normal del plano
por lo tanto se pueden denotar como : (2, 1, - 1)
Quedando la ecuación paramétrica de la recta de la siguiente
forma :
X = 2 + 2t
Y = - 1 + t
Z = 5 - t
Para obtener el punto de intersección M entre la recta y el
plano debemos sustituir la ecuación de la recta en la del plano de esta forma :
2.
(2 + 2t) + ( - 1 + t) - (5 - t) + 8 = 0
Despejando t = - 1
Asi obtenemos el punto de intersección M con coordenadas
x = 0 ; y = - 2 ; z = 6.
M es el punto medio de PP’ ahora para calcular las
coordenadas de P’ las denotaremos como (i, j, k) y debemos comprobar que se
cumpla que :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bi%2B2%7D%7B2%7D%20%3D0%3B%20i%3D-2" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bj-1%7D%7B2%7D%3D0%3B%20j%3D-3" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bk%2B5%7D%7B2%7D%3D0%3B%20k%3D7" />
Asi,
el punto simétrico es P’( - 2, - 3, 7).
B)
Primero, obtengamos el punto donde la recta r
corta con el plano πLa ecuación paramétrica de r es :
X = 2 - 2tY = - 1 + 3tZ = 5 + t
Ahora 2.
(2 - 2t) + ( - 1 + 3t) - (5 + t) + 8 = 0 ⇒t = 3
Por lo tanto el punto es A( - 4, 8, 8)
r’ debe pasar por los puntos A y P’ entonces
AP’(2, - 11, - 1) ⇒ vector
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%27%3D%20%5Cfrac%7Bx%2B4%7D%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%7By-8%7D%7B-11%7D%3D%20%5Cfrac%7Bz-8%7D%7B-1%7D" />.
A) Calcula las coordenadas del punto simétrico de A respecto a r. De la ecuación de la recta r se obtienen que su vector director y un punto de la recta son : Vdr = (2, - 1, 0) P (1, 1, 1) Ahora se determina un plano…
A) Calcula las coordenadas del punto simétrico de A respecto a r. De la ecuación de la recta r se obtienen que su vector director y un punto de la recta son : Vdr = (2, - 1, 0) P (1, 1, 1) Ahora se determina un plano…
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