Ejercicio 4. - Considera el punto A(1, −1, 1) y la recta r dada por x = 1 + 2λ y = 1 − λ z = 1 a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto sim´etrico de A respecto a r. Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Septiembre 2015 - 2016, MATEMATICAS II.
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En resumen
A) Calcula las coordenadas del punto simétrico de A respecto a r. De la ecuación de la recta r se obtienen que su vector director y un punto de la recta son : Vdr = (2, - 1, 0) P (1, 1, 1) Ahora se determina un plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto A.
A)
Calcula las coordenadas del punto simétrico de A
respecto a r.
De la ecuación de la recta r se obtienen que su vector
director y un punto de la recta son :
Vdr = (2, - 1, 0)
P (1, 1, 1)
Ahora se determina un plano perpendicular a la recta r y que
pasa por el punto A.
La normal del plano es Vdr.
2X – Y + D = 0
Se sustituye el punto A.
A ( 1, - 1, 1)
2(1) – ( - 1) + D = 0
D = - 3
Sustituyendo el valor de D.
Π : 2X – Y – 3 = 0
Ahora se intercepta el plano π y la recta r para determinar
el punto medio entre A y su simétrico A’.
Se sustituyen las coordenadas generales de los puntos de la
recta en la ecuación del plano.
2(1 + 2λ) – (1 – λ) – 3 = 0
λ = 0, 4
Ahora se tiene que el punto medio M es :
X = 1 + 2(0, 4) = 1, 8
Y = 1 – 0, 4 = 0, 6
Z = 1
M (1, 8 ; 0, 6 ; 1)
Aplicando la ecuación del punto medio es posible despejar
las coordenadas del punto A’.
Xm = Ax + A’x / 2
1, 8 = 1 + A’x / 2
A’x = 2, 6
Ym = Ay + A’y / 2
0, 6 = - 1 + A’y / 2
A’y = 2, 2
Zm = Az + A’z / 2
1 = 1 + A’z / 2
A’z = 1
Las coordenadas del punto simétrico de A son :
A’ (2, 6 ; 2, 2 ; 1)
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE
2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.
A) Calcula las coordenadas del punto simétrico de A respecto a r.
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