Ejercicio 3. - Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales x + (λ + 1)y + z = 1 λy + z = 0 λy + λz = λ a) [1 punto] Disc ́utelo seg ́un los valores de λ. B) [0’75 puntos] Resu ́elvelo para λ = 0. C) [0’75 puntos] Determina, si existe, el valor de λ para el que hay una soluci ́on en la que z = 2. Calcula esa soluci ́on. Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015 - 2016, MATEMATICAS II.
En resumen
A) Discútelo según los valores de λ. La relación es Det(A) = 0 para la matriz de coeficientes. |1 λ + 1 1| |0 λ 1| = 0 = λ ^ 2 – λ = > λ1 = 0, λ2 = 1 |0 λ λ| Para λ = 0 : Matriz de coeficientes.
Nazasamudio01
A) Discútelo según los valores de λ.
La relación es Det(A) = 0 para la matriz de coeficientes.
|1 λ + 1 1|
|0 λ 1| = 0 = λ ^ 2 – λ = > λ1 = 0, λ2 = 1
|0 λ λ|
Para λ = 0 :
Matriz de coeficientes.
(1 1 1)
(0 0 1)
(0 0 0) - > Como la tercera fila es nula se concluye que el sistema es de Rango = 2.
Sistema compatible indeterminado.
Matriz ampliada.
(1 1 1 1)
(0 0 1 0)
(0 0 0 0) - > Como la tercera fila es nula se concluye que el sistema es de Rango = 2.
Sistema incompatible.
Para λ = 1 :
Matriz de coeficientes.
(1 2 1)
(0 1 1)
(0 1 1) - > Como F2 y F3 son proporcionales se concluye que el sistema es de Rango = 2.
Sistema compatible indeterminado.
Matriz ampliada.
(1 2 1
1) (1
2 1 1)
(0 1 1 0) - > F3 = F3 – F2 - > (0 1 1 0) - > Rango = 2
(0 1 1
1)
(0 0 0 1)
Sistema incompatible.
B) Resuélvelo para λ = 0.
Para λ = 0 el sistema queda :
x + y + z = 1
z = 0
El sistema es compatible indeterminado, por lo tanto para x = t la
solución es :
x = t
y = 1 – t
z = 0
c) Determina, si existe, el valor de λ para el que hay una
solución en la que z = 2.
Calcula esa solución.
Se sustituye z = 2 y el sistema queda :
x + (λ + 1)y + 2 = 1 (1)
λy + 2 = 0
(2)
λy + 2λ = λ (3)
Se despeja y de la ecuación (3).
Y = - 1
Se sustituye el valor de y en la ecuación (2).
Λ( - 1) + 2 = 0
λ = 2
Se sustituyen los valores de λ e y en la ecuación (1).
X + (2 + 1)( - 1) + 2 = 1
x = 2
Solución :
x = 2
y = - 1
z = 2
λ = 2
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4
2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.
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