Ejercicio 3. - Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante AX = B siendo A = 1 1 2 −1 m + 2 m 1 1 m + 2 , B = 1 − m m 7 y X = x y z . A) [1’5 puntos] Discute el sistema seg ́un los valores de m. B) [1 punto] Resuelve el sistema para m = −3 y determina en dicho caso, si existe, una soluci ́on en la que x = 2. Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva A 2015 - 2016, MATEMATICAS II.
En resumen
A) Discute el sistema según los valores de m. Se calcula el determinante de la matriz A y se iguala a cero. | 1 1 2| Det(A) = | - 1 m + 2 m| = m ^ 2 + 3m = 0 | 1 1 m + 2| m1 = 0 m2 = - 3 Se determina el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz de coeficientes ampliada.
Belen1313
A) Discute el sistema según los valores de m.
Se calcula el determinante de la matriz A y se iguala a
cero.
|
1 1 2|
Det(A) = | - 1 m + 2 m| = m ^ 2 + 3m = 0 |
1 1
m + 2|
m1 = 0
m2 = - 3
Se determina el rango de la matriz de coeficientes y de la
matriz de coeficientes ampliada.
Para m = 0 :
Matriz de coeficientes.
( 1 1 2)
( - 1 2 0)
( 1 1 2)
Como la fila 1 y la fila 3 son proporcionales se tiene que R = 2
Matriz ampliada.
( 1 1 2 1)
( - 1 2 0 0)
( 1 1 2 7)
Se aplican las siguientes operaciones :
F2 = F2 + F1
F3 = F3 – F1
(1 1 2 1)
(0 3 2 1)
(0 0 0 6)
El rango es 3.
Para m = - 3 :
Matriz de coeficientes.
( 1 1 2)
( - 1 - 1 - 3)
( 1 1 - 1)
Se aplican las siguientes operaciones :
F2 = F2 + F1
F3 = F3 – F1
(1 1 2)
(0 0 - 1)
(0 0 - 3)
El rango es 3.
Matriz ampliada.
( 1 1 2
4)
( - 1 - 1 - 3 - 3)
( 1 1 - 1 7)
Se aplican las siguientes operaciones :
F2 = F2 + F1
F3 = F3 – F1
(1 1 2 4)
(0 0 - 1 1)
(0 0 - 3 3)
El rango es 2.
Para la matriz de coeficientes :
m = 0 (Sistema compatible indeterminado)
m = - 3 (Sistema incompatible)
m ≠ 0 (Sistema compatible determinado)
m ≠ - 3 (Sistema compatible determinado)
Para la matriz ampliada :
m = 0 (Sistema compatible indeterminado)
m = - 3 (Sistema incompatible)
m ≠ 0 (Sistema compatible determinado)
m ≠ - 3 (Sistema compatible determinado)
b) Resuelve el sistema para m = - 3 y determina en dicho
caso, si existe, una solución en la que x = 2.
Si se sustituye m = - 3 el sistema de ecuaciones que queda
es :
x + y + 2z = 4 - x – y – 3z = - 3
Ya que el sistema es compatible indeterminado como se
demostró en la sección pasada.
Para x = 2 se tiene que :
y + 2z = 2 - y – 3z = - 1
z = - 1
y = 4
Solución :
x = 2
y = 4
z = - 1
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA A 2015 - 2016
MATEMÁTICAS II.
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