Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía,
Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II
Primero se debe calcular la determinante de la matriz A.
Obteniendo
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%7CA%7C%20%3D%20%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%20%5Calpha%20%262%26-1%5C%5C0%261%262%5C%5C3%264%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Calpha%20%5E2%20-%208%20%5Calpha%20%2B%2015%20%3D%200" />
⇒α = 3 ; α = 5
Por lo tanto, hay 3
opciones, α = 3,
α = 5 o α≠ 3 y 5.
A)
El sistema tiene solución única, es decir, es
compatible determinado cuando α≠ 3 y 5, solución que obtenemos a través de la regla de Cramer de la siguiente
forma.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%262%26-1%5C%5C%20%5Calpha%20-2%261%262%5C%5C3%264%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%7D%7B%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%20%5Calpha%20%262%26-1%5C%5C0%261%262%5C%5C3%264%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%7D%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B-2%20%5Calpha%20%5E2%2B%20%20%5Calpha%20%2B15%7D%7B%20%5Calpha%20%5E2-8%20%5Calpha%20%2B15%7D%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%20%5Calpha%20%261%26-1%5C%5C0%26%20%5Calpha%20-2%262%5C%5C3%263%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%7D%7B%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%20%5Calpha%20%262%26-1%5C%5C0%261%262%5C%5C3%264%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%7D%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20%5Calpha%20%5E3-2%20%5Calpha%20%5E2-3%20%5Calpha%20%7D%7B%20%5Calpha%20%5E2-8%20%5Calpha%20%2B15%7D%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=z%3D%20%20%5Cfrac%7B%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%20%5Calpha%20%262%261%5C%5C0%261%26%20%5Calpha%20-2%5C%5C3%264%263%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%7D%7B%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%20%5Calpha%20%262%26-1%5C%5C0%261%262%5C%5C3%264%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%7D%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B-4%20%5Calpha%20%5E2%2B17%20%5Calpha%20-15%7D%7B%20%5Calpha%20%5E2-8%20%5Calpha%20%2B15%7D%20" />
b) El
sistema no tiene solución, es decir es incompatible cuandoα = 5.
C) El
sistema tiene múltiples soluciones, es decir, es compatible indeterminado
cuando α = 3 y las soluciones están dadas por :
3x + 2y – z = 1y + 2z = 1
x = ( - 1 + 5z) / 3y = 1 - 2zz = z.