Ejercicio 3. - Considera la matriz : A = 1 0 λ + 1 λ 1 −1 0 0 1 a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los valores de λ para los que A−1 = 2I − A (siendo I la matriz identidad de orden 3). B) [1 punto] Determina, si existen, los valores de λ para los que la matriz A + AT no tiene inversa (AT es la matriz traspuesta de A). Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva B 2015 - 2016, Matematicas II.
En resumen
A) Determina, si existen, los valores de λ para los que A ^ - 1 = 2I – A (siendo I la matriz identidad de orden 3). Se determina en primera instancia la matriz inversa de A (A ^ - 1).
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A) Determina, si existen, los valores de λ
para los que A ^ - 1 = 2I – A (siendo I la matriz identidad de orden 3).
Se determina en primera instancia la matriz inversa de A
(A ^ - 1).
(1 0 λ + 1
| 1 0
0)
A ^ - 1 = (λ
1 - 1 |
0 1 0) (0 0 1 |
0 0 1) (1
0 0 | 1 0 - 1 - λ )
A ^ - 1 = (0 1 0 | - λ 1 λ ^ 2 + λ + 1) (0
0 1 |
0 0 1
) (1 0
0) (1 0 λ + 1) (1
0 - 1 - λ)
2I – A = 2 * (0 1
0) – (λ 1 - 1 ) = ( - λ
1 1 ) (0 0
1) (0 0
0 ) (0
0 1 )
A ^ - 1 = 2I –
A
(1 0 - 1 - λ ) (1 0 - 1 - λ)
( - λ
1 λ ^ 2 + λ + 1) = ( - λ 1 1 )
( 0 0
1 ) (0
0 1 )
λ ^ 2 + λ + 1 = 1
λ ^ 2 + λ = 0
λ1 = 0
λ2 = - 1
b) Determina, si existen, los valores de λ
para los que la matriz A + A ^ t no tiene inversa (A ^ t es la matriz transpuesta
de A).
( 1 λ 0)
A ^ t = ( 0 1 0) (λ + 1 - 1 1)
(1 0 λ + 1)
( 1 λ
0) (2 λ λ + 1)
A + A ^ t = (λ
1 - 1 ) + (0 1
0) = (λ 2 - 1)
(0 0 0 )
(λ + 1 - 1
1) (λ + 1 - 1
1)
|2 λ λ + 1|
Det(A +
A ^ t) = | λ
2 - 1| = - 6λ ^ 2 - 6λ + 4 = 0 | λ + 1 - 1 1|
λ1 = - 1 / 2 +
√(33) / 6
λ2 = - 1 / 2 -
√(33) / 6
La matriz A + A ^ t no tiene inversa para los valores de λ1 y λ2.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA B 2015 - 2016
MATEMÁTICAS II.
A) Determina, si existen, los valores de λ para los que A ^ - 1 = 2I – A (siendo I la matriz identidad de orden 3). Se determina en primera instancia la matriz inversa de A (A ^ - 1). (1 0 λ + 1 | 1 0 0) A ^ - 1 = (λ 1…
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