A)
La matriz inversa de la matriz A.
Se extiende la matriz A con una matriz identidad de 2x2.
(1 - 3 | 1 0)
(2 2 | 0 1)
Se aplica la siguiente operación, F1 = F1 + 3F2 / 2.
(4 0 | 1 3 / 2)
(2 2 | 0 1 )
F1 = F1 / 4
(1 0 | 1 / 4 3 / 8)
(2 2 | 0
1 )
F2 = F2 / 2
(1 0 | 1 / 4 3 / 8)
(1 1 | 0
1 / 2)
F2 = F2 – F1
(1 0 | 1 / 4 3 / 8)
(0 1 | - 1 / 4 1 / 8)
La matriz inversa de A es :
(1 / 4 3 / 8)
( - 1 / 4 1 / 8)
b)
Las matrices X e Y de orden 2 x 2 tales que XA =
B y AY = B
Se comienza por XA = B, se multiplica por la derecha la
matriz inversa de A.
X * A * A ^ 1 = B * A ^ - 1
X = B * A ^ - 1
X = (1 3) * (1 / 4
3 / 8) (2 - 2) ( - 1 / 4
1 / 8)
X = ( - 1 / 2 3 / 4) ( 1
1 / 2)
Para AY = B se multiplica por la izquierda la matriz inversa
de A.
A ^ - 1 * A * Y = A ^ - 1 * B
Y = A ^ - 1 * B
Y = (1 / 4 3 / 8) *
(1 3) ( - 1 / 4 1 / 8) * (2 - 2)
Y = (1 0) ( - 1 0)
c)
Justificar razonadamente que si M es una matriz
cuadrada tal que M ^ 2 = I, donde I es la matriz identidad del mismo orden que M,
entonces verifica la igualdad M ^ 3 = M ^ 7.
Se tiene que la igualdad es :
M ^ 2 = M * M = I
M ^ 3 = M * M * M = M * I = M
M ^ 4 = M * M * M * M = I * I = I
M ^ 5 = M * M * M * M * M = M * I * I = M
M ^ 6 =
M * M * M * M * M * M = I * I * I = I
M ^ 7 =
M * M * M * M * M * M * M = M * I * I * I = M
Como M ^ 3 = M y M ^ 7 = M, se concluye que M ^ 3 = M ^ 7.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015
MATEMÁTICAS II.