Ejercicio 1 . Calificación máxima : 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales : −mx + my + z = 0 x − my + 3z = 4 2x − 2y − z = 0 se pide : a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro m. B) (005 puntos) Resolverlo en el caso m = 0. C) (005 puntos) Resolverlo en el caso m = 2. Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014 - 2015. Matemáticas II.
En resumen
A) Discutirlo según los valores del parámetro m.
A) Discutirlo según los valores del parámetro m.
Si se despeja Z de la
primera ecuación se tiene que :
Z = m * (X – Y)
Sustituyendo el valor de Z
en la segunda y tercera ecuación :
X − mY + 3 m * (X – Y) = 4
2X – 2Y − m * (X – Y) = 0
Reordenando las ecuaciones :
(3m + 1)X – 4mY = 4 (4)
(2 – m)X - (2 - m)Y = 0 (5)
Se despeja Y de la cuarta
ecuación :
Y = X
Se sustituye Y en la quinta
ecuación :
(3m + 1)X – 4mX = 4
(3m + 1 – 4m)X = 4
(1 – m)X = 4
X = 4 / (1 – m)
Debido a que X = Y se tiene
que Y es :
Y = 4 / (1 – m)
Ahora sustituyendo el valor
de X y Y se obtiene el valor de Z :
Z = m * [4 / (1 – m) - 4 / (1
– m)] = 0
Entonces los valores para
las incógnitas son :
X = 4 / (1 – m)
Y = 4 / (1 – m)
Z = 0
X y Y son siempre el mismo
valor sin importar el valor que tome m, además m ≠ 1 (X = Y = 4 / (1 – 1) = 4 /
0 = ∞) para que el sistema tenga solución.
El valor de Z es invariante
e igual a 0 para cualquier valor de m.
B) Resolverlo en el caso m = 0.
Se sustituye m = 0 en el
sistema de ecuaciones :
−0 * x + 0 * y + z = 0
x – 0 * y + 3z = 4
2x − 2y − z = 0
El Sistema queda de la
siguiente forma :
Z = 0
X – 3Z = 4
2X – 2Y = 0
Si se sustituye el valor de
Z en la segunda ecuación :
X = 4
Se sustituye el valor de X
en la tercera ecuación :
2 * 4 – 2Y = 0
Y = 4
Los valores son :
X = 4
Y = 4
Z = 0
c) Resolverlo en el caso m = 2.
Se sustituye m = 2 en el sistema
de ecuaciones :
−2x + 2y + z = 0
x – 2y + 3z = 4
2x − 2y − z = 0
Se despeja Z de la tercera
ecuación :
Z = 2Y – 2X
Se sustituye en la primera y
segunda ecuación :
−2X + 2Y + 2Y – 2X = 0 (4)
X – 2Y + 3 * (2Y – 2X) =
4 (5)
De la cuarta ecuación se
tiene :
−2X + 2Y + 2Y – 2X = 0 - 4X + 4Y = 0
X = Y
Se sustituye en la quinta
ecuación :
X – 2X + 3 * (2X – 2X) = 4
X = - 4
Con este resultado se tiene
que los valores de las incógnitas son :
X = - 4
Y = - 4
Z = 0
Prueba selectividad para la comunidad
de Madrid.
Convocatoria Jun 2014 - 2015.
Matemáticas II.
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