Ejercicio 1 . Calificación máxima : 3 puntos. Dados el punto P(−4, 6, 6), el origen de coordenadas O, y la recta r ≡ {x = −4 + 4λ y = 8 + 3λ z = −2λ, se pide : c) (1 punto) ¿Existe algún punto R de la recta r, de modo que los puntos O, P y R estén alineados? En caso afirmativo, encontrar el punto (o los puntos) con esa propiedad o, en caso negativo, justificar la no existencia. PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014 - 2015 MATEMATICA II . Muchas gracias.
Pequeñorm
Esta es la solución del ejercicio 1 parte c de la Prueba de selectividad Madrid convocatoria jun 2014 - 2015 Matemática II :
Para conocer si existe algún punto R dentro de la recta r tal que los puntos O(0, 0, 0), P( - 4, 6, 6) y R estén alineados debe cumplirse que, tanto la recta s :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20u_%7Bs%7D%20%3D%20OP%20%3D%20%28-4%2C6%2C6%29%20%3D%202%28-2%2C3%2C3%29%20%20" />
Ps = O(0, 0, 0)
Así como que la recta r debe truncarse justo en el punto R.
Procedemos a formar un vector auxiliar : PsPr = ( - 4, 8, 0)
Ahora aplicamos el producto cruz mixto de los puntos para saber si las rectas están alineadas :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5BPsPr%2C%20u_%7Br%7D%2C%20u_%7Bs%7D%20%5D%20%3D%20%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-4%268%260%5C%5C4%263%26-2%5C%5C-2%263%263%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%20-124" />
Como el resultado es diferente de 0 podemos concluir que las rectas r y s tienen punto de intersección por lo que no están alineadas.
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