Ejercicio 1. - [2’5 puntos] Sea f : R → R la funci ́on dada por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Halla los coeficientes a, b, c y d sabiendo que f presenta un extremo local en el punto de abscisa x = 0, que (1, 0) es punto de inflexi ́on de la gr ́afica de f y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es −3. Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
En resumen
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II. Con la finalidad de evaluar el extremo local en la abscisa x = 0 , calculamos la primera derivada de la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d <img src="https://tex.z-dn.net/?
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía,
Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
Con la
finalidad de evaluar el extremo local en la abscisa x = 0 , calculamos la primera
derivada de la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%27%28x%29%3D%203ax%5E2%20%2B%202bx%20%2B%20c%0A%0A" />
Si f tiene
un extremo en el punto x = 0, entonces por el criterio de la primera derivada se
debe cumplir que f’(0) = 0.
Así,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%27%280%29%3D%203a%280%29%5E2%2B2b%280%29%20%2B%20c" /> ⇒c = 0.
Como el
punto (1, 0) representa un punto de inflexión, es decir, la función cambia de
una concavidad a otra, matemáticamente la segunda derivada debe ser igual a 0,
esto es.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%27%27%28x%29%20%3D%206ax%20%2B%202b%20%3D%200." />
Por lo
tanto, evaluamos la segunda derivada en el punto x = 1.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%27%27%281%29%20%3D%206a%281%29%20%2B%202b%20%3D%206a%20%2B%202b%20%3D%200" />.
(Esta ecuación la llamaremos I)
Asimismo,
como está claro que la función pasa por el punto (1, 0) la evaluamos en el obteniendo.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%281%29%20%3D%20a.13%20%2B%20b.12%20%2B%20c.1%20%2B%20d%20%3D%200%20" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a%20%2B%20b%20%2B%20c%20%2B%20d%20%3D%200" />.
(Esta ecuación la llamaremos II)
Finalmente,
la tangente a la gráfica de f en el punto x = 1 es igual a - 3, así
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%27%281%29%20%3D%203a%281%29%5E2%2B2b%281%29%20%2B%20c%20%3D%200" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=3a%20%2B%202b%20%2B%20c%20%3D%20-3" />(Esta ecuación la llamaremos III)
Obteniendo
el siguiente sistema con las ecuaciones I, II y III.
Tomando en cuenta que c =
0.
1) 6a + 2b = 0
2) a + b + d = 0
3) 3a + 2b = - 3
Al
resolverlo obtenemos que los valores de los coeficientes son :
a = 1
b = - 3
c = 0
d = 2.
Para resolver este problema hay que aplicar la primera y la segunda derivada en la función f(x). F’(x) = a * x * e ^ ax + e ^ ax + b f’’(x) = a * e ^ ax * (ax + 2) Según las condiciones del ejercicio se tiene un extremo…
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