Ejercicio 2. - [2’5 puntos] Determina la funci ́on f : (0, ∞) → R sabiendo que f′′(x) = ln (x) y que su gr ́afica tiene tangente horizontal en el punto P(1, 2) (ln denota la funci ́on logaritmo neperiano). Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2014 - 2015, Matematicas II.
En resumen
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014 - 2015, MATEMATICAS II. El primer paso es calcular<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29" /> integrando por partes, <img src="https://tex.z-dn.net/?
Prueba
de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 4 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
El primer paso es calcular<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29" /> integrando por partes,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20f%27%28x%29%3D%20%5Cint%5Climits%20%7Bln%28x%29%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20xlnx%20-%20%20%5Cint%5Climits%5C%2C%20dx%20%3D%20xlnx%20-%20x%20%2BC" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Du%3Dln%28x%29%3B%20du%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7Ddx%5C%5Cdv%20%3D%20dx%3B%20v%3Dx%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20" />
debemos integrar por partes una segunda vez, ahora para calcular<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29." />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%28xlnx%20-%20x%20%2BC%29%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%20%5Cint%5Climits%20%7Bxlnx%7D%20%5C%2C%20dx%20-%20%5Cint%5Climits%20%7Bx%7D%20%5C%2C%20dx%20%2B%5Cint%5Climits%20%7BC%7D%20%5C%2C%20dx%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%20%7Bxlnx%7D%20%5C%2C%20dx%20-%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%20%2BCx%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7Dlnx-%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%20.%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%20%2B%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2BCx" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7Dlnx-%20%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%20-%20%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2BCx%2BD%3D%20%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7Dlnx-%20%5Cfrac%7B3x%5E2%7D%7B4%7D%2BCx%2BD" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Du%3Dln%28x%29%3B%20%20du%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7Ddx%20%5C%5Cdv%3Dxdx%3B%20v%3D%20%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20" />
Ahora calcularemos los valores para C y D.
Si La tangente eshorizontal⇒<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%281%29%20%3D%200%20" />⇒<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%3D%201.ln1-1%2BC" />⇒[img = 10]si la tangente pasa por el punto (1, 2)⇒[img = 11]⇒[img = 12]⇒[img = 13]
de esta forma, la funcionque buscamos es la siguiente :
[img = 14].