Ejercicio 2. - Sea f la funci ́on definida por f(x) = x2 + 1x 2(x − 1) para x 6 = 0 y x 6 = 1 y sea F la primitiva de f cuya gr ́afica pasa por el punto P(2, ln (2)) ( ln denota logaritmo neperiano). A) [0’5 puntos] Calcula la recta tangente a la gr ́afica de F en el punto P. B) [2 puntos] Determina la funci ́on F. Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
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En resumen
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía,
Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
Una función primitiva de la función
f(x) es F(x), esto quiere decir que la integral de f(x) es igual a F(x), de
esto, podemos deducir que entonces que la derivada de F(x) es igual a f(x),
esto es :
F’(x) = f(x)
a)
La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el
punto (b, f(b)) y cuya pendiente es igual a f '(x), asi, pordemos decir que la
formula de la recta tangente es : y – f(b) = f’(b).
(x - b).
Llevado a nuestro problema sería : y – F(2) =
F’(2).
(x - 2)
Por lo tanto, F(2) = ln2 y F’(2) = f(2) = 5 / 4
Sustituyendo en la fórmula de la
recta tangente, obtenemos que la recta es : y – ln2 = 5 / 4 .
(x - 2).
B) Para resolver la integral
utilizamos el método de fracciones parciales siendo las raíces del denominador
x = 0 ; x = 0 ; x = 1
Asi, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E2%2B1%29%2F%28x%5E2.%28x-1%29%29%3D%20%20A%2Fx%2B%20%20B%2Fx%5E2%20%2B%20%20C%2F%28x-1%29%3D%20%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%20%28A.x.%28x-1%29%2BB%28x-1%29%2BC.x%5E2%29%2F%28x%5E2.%28x-1%29%29" />
Se puede notar que los
denominadores son iguales, por lo tanto los numeradores deben ser iguales
también.
Tomamos 3 valores para x y de esta forma calculamos A, B y C.
X = 0 Þ 1 = - B Þ B = - 1 x = 1 Þ 2 = C Þ C = 2x = 2 Þ 5 = 2A + B + 4C Þ A = - 1
sustituyendo,
obtenemos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%28x%29%3D%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%28x%5E2%2B1%29%2F%28x%5E2.%28x-1%29%20%29%7D%20%5C%2C%20dx%3D%20" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%28x%29%3D%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%28-1%29%2Fx%7D%20%5C%2C%20dx%20%20%2B%20%5Cint%5Climits%20%7B%28-1%29%2Fx%5E2%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%2B%5Cint%5Climits%20%7B2%2F%28x-1%29%7D%20%5C%2C%20dx%20%20%3D" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=-lnx%2B1%2Fx%2B2ln%28x-1%29%2BC" />
Sabemos que F(x) pasa
por el punto (2, ln2), por lo tanto : ln2 = - ln2 + 1 / 2 + 2ln1 + C Þ C = 2ln2 - 1 / 2
así, F(x) = - lnx + 1 / x + 2ln(x - 1) + 2ln2 – 1 / 2.
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
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