A) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f.
Asíntotas verticales : Se determinan los puntos para los
cuales f(x) no existe, pero como f(x) existe para todos los números reales, la
función no tiene asíntotas verticales.
Asíntotas horizontales : Se aplica el límite cuando X tiende
al infinito y su opuesto.
Lim x - > ±∞ [x / (x ^ 2 + 1)] = ∞ / ∞
(indeterminado)
Aplicando L’Hopital :
Lim x - > ±∞
[1 / 2x] = 0
Existe una asíntota horizontal para f(x) = 0.
Asíntotas oblicuas : Al existir asíntota horizontal, no
existen asíntotas oblicuas en la función.
Ahora se sustituye f(x) = 0 en la función para despejar x.
0 = x / (x ^ 2 + 1)
x = 0
El punto de intercepción de la asíntota con la función es el
origen de coordenadas (0, 0).
B) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento f
y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se
alcanzan).
Se deriva la función f(x) y se iguala a cero.
F’(x) = (1 – x ^ 2) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 0
1 – x ^ 2 = 0
x = ± 1
Se estudian los signos en los siguientes intervalos :
( - ∞, - 1) : (1 – ( - 3) ^ 2) / (( - 3) ^ 2 + 1) ^ 2 = - 0, 8
Signo negativo, por lo tanto decrece.
( - 1, 1) : (1 – (0) ^ 2) / ((0) ^ 2 + 1) ^ 2 = 1
Signo positivo, por lo tanto crece.
(1, + ∞) : (1 – (3) ^ 2) / ((3) ^ 2 + 1) ^ 2 = - 0, 8
Signo negativo, por lo tanto decrece.
C) Esboza la gráfica de f
La gráfica se encuentra en la imagen adjunta.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA
JUNIO 2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.
