Ejercicio 1. - Sea f : R → R la funci ́on definida por f(x) = x2 − |x|. A) [0’5 puntos] Estudia la derivabilidad de f. B) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. C) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
En resumen
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
Jesseniadelgado
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía,
Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
A)
Debido a el valor absoluto presente en la
ecuación, la función queda de la siguiente forma
f (x) = x2 - |x| =
⇒x2 + x si
x = 0
Ambas funciones
son polinómicas, por lo tanto, son continuas y su derivada existe para los
casos en que x toma valores menores o mayores a 0.
Estudiaremos la
derivabilidad cuando x = 0
Como F(0) = 0
Y el limite cuando
x tiende a 0 de x ^ 2 + x es igual a 0 y el limite cuanto x tiende a 0
de x ^ 2 – x también es 0, asi
el limite cuando x tiende a 0 de f(x) es igual a 0.
Entonces f(0) = el
limite cuando x tiende a 0 de f(x) = 0.
Podemos concluir
que f(x) es continua.
Ahora, derivamos
f(x) cuando x = 0 y obtenemos :
F’(x) =
⇒2x + 1 si x0
⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27_2%280%29" /> = - 1
Como <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27_1%280%29" />≠ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27_2%280%29" />entonces f(x) no es derivable.
B)
Obtenemos los intervalos igualando la primera
derivada a 0 y despejando el valor de x.
2x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 / 2
2x – 1 = 0 ⇒ x = 1 / 2
Así, los intervalos están dados de
la siguiente forma
( - ∞, - 1 / 2) donde f'(x) es negativa.
( - 1 / 2, 0) donde f'(x) es positiva.
(0, 1 / 2) donde f'(x) es negativa.
(1 / 2, ∞) dondef'(x) es positiva.
C)
Para obtener los extremos relativos la primera
derivada debe ser igual a 0 y la segunda derivada distinta de 0.
Obtenemos los siguientes valores :
X = - 1 / 2 ⇒m( - 1 / 2, - 1 / 4)
X = 0 ⇒pico (0, 0)
X = 1 / 2 ⇒m (1 / 2, - 1 / 4).
A) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Asíntotas verticales : Se determinan los puntos para los cuales f(x) no existe, pero como f(x) existe para todos los números reales, la función no tiene asíntotas…
A) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienes y que valores alcanzan). Se extiende la función para sus puntos donde f(x) = 0. X ^ 2 – 4 = 0…
B) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento f y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Se deriva la función f(x) y se iguala a cero. F’(x) = (1 – x ^ 2) / (x ^…