Ejercicio 1?
Ejercicio 1. - Sea f : R → R la funci ́on definida por f(x) = x2 − |x|. A) [0’5 puntos] Estudia la derivabilidad de f. Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
En resumen
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
Mejor respuesta
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Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía,
Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
A)
Debido a el valor absoluto presente en la
ecuación, la función queda de la siguiente forma
f (x) = x2 - |x| =
⇒x2 + x si
x = 0
Ambas funciones
son polinómicas, por lo tanto, son continuas y su derivada existe para los
casos en que x toma valores menores o mayores a 0.
Estudiaremos la
derivabilidad cuando x = 0
Como F(0) = 0
Y el limite cuando
x tiende a 0 de x ^ 2 + x es igual a 0 y el limite cuanto x tiende a 0
de x ^ 2 – x también es 0, entonces el limite cuando x tiende a 0 de f(x) es igual a 0.
Entonces f(0) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5C0%7D%20f%28x%29%20%3D%200%20" />
Podemos concluir
que f(x) es continua.
Ahora, derivamos
f(x) cuando x = 0 y obtenemos :
F’(x) =
⇒ 2x + 1 si x0 ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27_2%280%29%20%3D-%201" />
Como<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27_1%280%29%20" />≠<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%20f%27_2%280%29" />entonces f(x) no es
derivable.