A)
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de
la función real f definida por f(x) = (x – 1)(x - 3), siendo x un número real.
Para determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento se deriva la función f(x) y posteriormente se iguala a cero para
obtener los puntos críticos.
F’(x) = x – 3 + x – 1 = 2x – 4
2x – 4 = 0
X = 2
Se evalúan los siguientes intervalos para determinar el
crecimiento o decrecimiento de la función.
( - ∞, 2) y (2, + ∞)
Para el intervalo ( - ∞, 2) :
f’(0) = 2(0) – 4 = - 4 (Decrece)
Para el intervalo (2, + ∞) :
f’(5) = 2(5) – 4 = 6 (crece)
b)
El área del recinto acotado limitado entre las
curvas y = (x – 1)(x – 3) e y = - (x – 1)(x – 3).
Se encuentran los puntos de corte entre ambas funciones
igualando las y.
(x – 1)(x – 3) = - (x – 1)(x – 3)
x ^ 2 – 4x + 3 = - x ^ 2 + 4x – 3
2x ^ 2 – 8x + 6 = 0
x1 = 3
x2 = 1
Estos serán los límites de integración, ahora se aplica la
integral para determinar el área.
∫[ - (x – 1)(x – 3)] – [(x – 1)(x – 3)] dx
Resolviendo : - ∫ (x ^ 2 – 4x + 3)dx - ∫ (x ^ 2 – 4x + 3)dx - 2(x ^ 3 / 3 – 2x ^ 2 + 3x) | (desde 1 hasta 3)
Evaluando la integral :
A = - 2[(3) ^ 3 / 3 – 2(3) ^ 2 + 3(3)] + 2[(1) ^ 3 / 3 – 2(1) ^ 2 + 3(1)]
A = 8 / 3 u ^ 2
c)
El valor positivo de a para el cual el área
limitada entre la curva y = a(x – 1)(x – 3), el eje Y y el segmento que une los
puntos (0, 0) y (1, 0) es 4 / 3.
Se aplica una integral cuyos límites de integración son 0 y
1, la integral involucra a las funciones f(x) = a(x – 1)(x – 3) y g(x) = 0.
∫ [a(x – 1)(x – 3) – 0]dx
Resolviendo :
∫ a * (x ^ 2 – 4x + 3)dx
a * (x ^ 3 / 3 – 2x ^ 2 + 3x) | Desde 0 hasta 1
A = 4 / 3 = a * [(1) ^ 3 / 3 – 2(1) ^ 2 + 3(1) – (0) ^ 3 / 3 – 2(0) ^ 2 +
3(0)]
4 / 3 = a * 4 / 3
a = 1
PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015
MATEMÁTICAS II.