Respuesta alejercicio 3de la prueba de selectividad deMadridconvocatoriaJUN 2012 - 2013deFísica :
a) Calculamos la
densidad del planeta mercurio :
d = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bm%7D%7BV%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BM%7D%7B%20%5Cfrac%7B4%0A%5Cpi%20R%5E%7B3%7D%20%7D%7B3%7D%20%7D%20" />
En donde M representa la masa del planeta
Mercurio y R es su radio, suponiendo que es esférico.
Podemos conocer cual es la intensidad del campo
gravitatorio deduciendolo en base de que el peso de un cuerpo es la fuerza con
la que atrae el planeta al cuerpo :
P = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20F_%7BG%7D%20" />
mg = G.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BMm%7D%7BR%5E%7B2%7D%20%7D%20" />
g = G.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BM%7D%7B%20R%5E%7B2%7D%20%7D%20" />
Finalmente :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bg%7D%7BG.%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20R%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BG.%0A%5Cfrac%7BM%7D%7B%20R%5E%7B2%7D%20%7D%20%7D%7BG.%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D.%20%5Cpi%20R%20%7D%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B3g%7D%7B4%20%5Cpi%20RG%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BM%7D%7B%0A%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20R%5E%7B3%7D%20%7D%20%3D%20d%20" />
d = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B3.3%2C7%7D%7B4%20%5Cpi%0A.2440x10%5E%7B3%7D.6%2C67%20x10%5E%7B-11%7D%20%7D%20%3D%20" /> 5427 Kg m⁻³
b) Para calcular cuanta es la energía
necesaria para enviar una nave espacial de 5000 kg de masa desde la superficie
del planeta a una órbita en la que el valor de la intensidad de campogravitatorio sea la cuarta parte de su
valor en la superficie, tomamos en consideración que el campo gravitatorio es
conservatorio, por lo que para colocar una nave en órbita está será la
diferencia de la energía mecánica de la nave en la órbita y en la superficie
del planeta Mercurio :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20E_%7BM%7D%28orbita%29%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=E_%7Bp%7D%20%2B%20E_%7Bc%7D%20%3D%20-%20G.%20%5Cfrac%7BMm%7D%7B%0AR_%7B1%7D%20%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.m%20v_%7B1%7D%5E%7B2%7D%20" />
Donde R1 es el radio de la órbita y v1
representa la velocidad de la nave.
Luego, para calcular R1 se debe tomar en
consideración quela intensidad
del campo gravitatorio en la órbita es la cuarta parte de la superficie :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20g_%7B1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dg" />
G[img = 10]
Simplificamos R1 = 2R
La velocidad de la nave en la órbita se calcula
tomando en consideración que la nave describe un movimiento circular uniforme,
por lo que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella son iguales a la
fuerza centripeda :
[img = 11]
G.
[img = 12]
[img = 13]
Sustituimos en la ecuación de la energía :
[img = 14]
La energía mecánica en la superficie es calculada de la siguiente forma :
[img = 15] = Ep = - G.
[img = 16]
Por lo tanto la energía necesaria para que la
nave entre en órbita es :
ΔE = [img = 17] = [img = 18] + [img = 19]
ΔE = [img = 20]
La masa del planeta puede escribirse en relación
a la intensidad del campo gravitacional en su superficie :
g = [img = 21]
GM = gR²
ΔE = [img = 22]3, 7.
2440x10³.
5000 = 3, 3855x10¹⁰ J.