Ejercicio 4B . Calificación máxima : 2 puntos. Dada la matriz A = 3 1 1 0 Hallar todas las matrices B = a b c d que conmutan con A, es decir que cumplen AB = BA. Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014 - 2015. Matemáticas II.
Aranza04
En primer lugar hay que
determinar tanto los productos entre AB como BA, como sigue :
AB = (3 1) * (a b) = (3a + c
3b + d) (1 0) (c d)
( a b )
BA = (a b) * (3 1) = (3a + b a) (c d) (1 0)
(3c + d c)
Como se desea que AB = BA se
iguala cada elemento de la matriz AB con su correspondiente elemento en la
matriz BA.
El sistema de ecuaciones queda :
3a + c = 3a + b
a = 3b + d
a = 3c + d
b = c
Como b = c, entonces la
segunda y la tercera ecuación son linealmente dependientes, por lo tanto se
descarta cualquiera de las ecuaciones, por lo tanto el sistema se reduce a :
a = 3b + d
b = c
Como son dos ecuaciones con
4 incógnitas, se concluye que se deben conocer dos valores (a o d, b o c) para
conocer a los 2 restantes.
Prueba selectividad para la
comunidad de Madrid.
Convocatoria Jun 2014 - 2015.
Matemáticas II.
A) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa. Para que la matriz A tenga inversa se debe cumplir que Det(A) ≠ 0. ( - 1 - 1 a) Det(A) = ( - 3 2 a) = ( - 1)( - 2 - a ^ 2) – ( - 1)(3) + (a)( - 3a) ≠…
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