Ejercicio 4. - Considera el punto P(−3, 1, 6) y la recta r dada por ( 2x − y − 5 = 0 y − z + 2 = 0 a) [1’25 puntos] Determina la ecuaci ́on del plano que pasa por P y es perpendicular a r. B) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas del punto sim ́etrico de P respecto de la recta r. Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 5 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
En resumen
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014 - 2015, MATEMATICAS II. A) El primer paso es escribir la recta de forma paramétrica, obteniendo : r = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3Dt" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014 - 2015,
MATEMATICAS II.
A)
El primer paso es escribir la recta de forma
paramétrica, obteniendo : r = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3Dt" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D-5%2B2t" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=z%3D-3%2B2t" />
podemos ver que el vector director es igual a (1, 2, 2) y que este vector es el normal al plano, de esta forma, es correcto decir que los planos perpendiculares a la recta son de la siguiente forma :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%2B2y%2B2z%2BD%3D0" />
para que pase por el punto ( - 3, 1, 6) sustituimos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=-3%2B2.1%2B2.6%2BD%3D0" />⇒<img src="https://tex.z-dn.net/?f=D%3D-11" />
el plano que buscamos es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%2B2y%2B2z-11%3D0." />
b) para obtener el punto simetrico de P con respecto a r primero calcularemos el punto de corte entre la recta y el plano.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%2B2y%2B2z-11%3D0" />⇒<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%2B2.%28-5%2B2t%29%2B2.%28-3%2B2t%29-11%3D0" />⇒<img src="https://tex.z-dn.net/?f=t%3D3" />.
El punto de corte es : [img = 10]
El punto que buscamos, P'(i, j, k) lo calculamos cumpliendo :
[img = 11]⇒[img = 12].
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