Ejercicio 2?

Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía,

Modelo 4 2014 - 2015, MATEMATICAS II

La integral debe calcularse usando fracciones parciales.

Primero dividiremos la integral en dos polinomios de la

siguiente manera :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7B-x%5E2%7D%7B%28x%5E2%2Bx-2%29%7D%7D%20%5C%2C%20dx%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%20%7B-1%7D%20%5C%2C%20dx%20%2B%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx%5E2%2Bx-2%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=-x%20%2B%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx%5E2%2Bx-2%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20" />

Las

raíces del denominador son :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2Bx-2%3D0%20" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x%3D1%3Bx%3D-2" />

Si descomponemos en fracciones simples

obtenemos lo siguiente :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx%5E2%2Bx-2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BA%7D%7Bx-1%7D%20%20%2B%20%20%20%5Cfrac%7BB%7D%7Bx%2B2%7D%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BA%28x%2B2%29%2BB%28x-1%29%7D%7B%28x-1%29%28x%2B2%29%7D%20" />

Seguidamente sustituimos los valores de las raíces en los

numeradores ya que como los denominadores son iguales, los numeradores también

deben serlo y así calculamos A y B.

X = 1 ⇒ - 1 = 3A ⇒ A = - 1 / 3 X = - 2 ⇒ - 4 = - 3B ⇒ B = 4 / 3

Entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7B-x%5E2%7D%7Bx%5E2%2Bx-2%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=-x%2B%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx%5E2%2Bx-2%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=-x%2B%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7B-1%2F3%7D%7B%28x-1%29%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%2B%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7B4%2F3%7D%7B%28x%2B2%29%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20" /> = [img = 10].