Ejercicio 3. - Sea la matriz A = 2 1 0 0 1 −1 0 2 4 a) [1’75 puntos] Estudia, seg ́un los valores de λ, el rango de la matriz A − λI, siendo I la matriz identidad de orden tres. B) [0’75 puntos] Resuelve el sistema dado por (A − 2I) x y z 0 0 0 Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015 - 2016, MATEMATICAS II.
Pregunta de PAU-Selectividad · 1 respuesta · 2 votos · mejor respuesta de Miguelnavarrocu
En resumen
A) Estudia, según los valores de λ, el rango de la matriz A – λI, siendo I la matriz identidad de orden tres.
A) Estudia, según los valores de λ, el rango de la matriz A – λI,
siendo I la matriz identidad de orden tres.
La matriz λI es :
(λ 0 0)
(0 λ 0)
(0 0 λ)
La matriz final es :
(2 1 0) (λ 0
0) (2 - λ 1
0 )
(0 1 - 1) – (0 λ
0) = ( 0 1 - λ - 1 )
(0 2 4)
(0 0 λ)
( 0 2
4 - λ)
Para encontrar el rango la condición es Det(A – λI) = 0
|2 - λ 1 0 |
| 0 1 - λ - 1 | = - λ ^ 3 + 7λ ^ 2 - 16λ + 12 = 0
| 0 2
4 - λ|
λ1 = 2
λ2 = 3
Para λ = 2 :
(0 1 0)
(0 - 1 - 1) - > F2 y F3 son proporcionales, por lo tanto Rango = 2
(0 2 2)
Para λ = 3 :
( - 1 1 0)
( 0 - 2 - 1) - > F2 y F3 son proporcionales, por lo tanto Rango =
2
( 0 2 1)
Se concluye que para λ = 2 o λ = 3 el rango es de 2 y para λ ≠ 2 o
λ ≠ 3 el rango es de 3.
B) Resuelve el sistema dado por (A – 2I)X = 0.
El sistema se resuelve como :
(0 1 0)
(X) (0)
(0 - 1 - 1) * (Y) = (0)
(0 2 2)
(Z) (0)
Resolviendo :
( Y )
(0)
( - Y – Z ) = (0)
(2Y + 2Z) (0)
El sistema de ecuaciones queda :
Y = 0 - Y – Z = 0
2Y + 2Z = 0
Sustituyendo Y = 0 se tiene que :
Z = 0
Solución :
X = t
Y = 0
Z = 0
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4
2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.
A) Estudia, según los valores de λ, el rango de la matriz A – λI, siendo I la matriz identidad de orden tres.
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