Ejercicio 2 . Calificación máxima : 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales : 2x + λy + λz = 1 − λ , x + y + (λ − 1)z = −2λ , (λ − 1)x + y + z = λ − 1 , se pide : a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro λ. B) (0, 5 puntos) Resolverlo en el caso λ = 1. C) (0, 5 puntos) Resolverlo en el caso λ = −1. Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012 - 2013. Matemáticas II.
En resumen
A) Discutirlo según los valores del parámetro λ. La matriz formada por el sistema de ecuaciones es : ( 2 λ λ ) A = ( 1 1 λ - 1) (λ - 1 1 1 ) ( 2 λ λ 1 - λ) A * = ( 1 1 λ - 1 - 2λ) (λ - 1 1 1 λ - 1) Ahora se evalúa Det(A) = 0.
A) Discutirlo según los
valores del parámetro λ.
La matriz formada por el
sistema de ecuaciones es : (
2 λ λ )
A = ( 1
1 λ - 1) (λ - 1
1 1 ) (
2 λ λ
1 - λ)
A * = ( 1
1 λ - 1 - 2λ) (λ - 1
1 1 λ - 1)
Ahora se evalúa Det(A) = 0.
|
2 λ λ |
Det(A) = | 1
1 λ - 1| = 0 = > λ ^ 3 - 3λ ^ 2 + 4 =
0 = > λ1 = - 1, λ2 = 2 |λ - 1 1
1 |
Con los valores de λ se
puede discutir que :
Si λ ≠ λ1 o λ2, Det(A) ≠ 0 = > Rango A = Rango A * = 3, entonces el sistema es compatible determinado.
Si λ = λ1, Det(A) = 0 = >
Rango A = Rango A * = 2, entonces el sistema es compatible indeterminado.
Si λ = λ2, Det(A) = 0 = >
Rango A = 1 ≠ Rango A * = 2, entonces el sistema es incompatible.
B) Resolverlo en el caso λ =
1.
Sustituyendo el valor de λ : (2
1 1)
A = (1 1 0) (0
1 1)
Det(A) = 2 (2
1 1 0)
A * = (1 1
0 - 2) (0
1 1 0)
Las sub - matrices son las
siguientes : (0 1 1)
Ax = ( - 2 1 0) (0 1 1)
Det(Ax) = 0 (2 0 1)
Ay = (1 - 2 0) (0 0 1)
Det(Ay) = - 4 (2 1 0)
Az = (1 1 - 2) (0
1 0)
Det(Az) = 4
Aplicando el método de
cramer :
X = Det(Ax) / Det(A)
X = 0 / 2 = 0
Y = Det(Ay) / Det(A)
Y = - 4 / 2 = - 2
Z = Det(Az) / Det(A)
Z = 4 / 2 = 2
c) Resolverlo en el caso λ =
−1.
Sustituyendo el valor de λ : (2 - 1 - 1)
A = (1 1 - 2) ( - 2
1 1)
Como la fila 1 es
linealmente dependiente de la fila 3 se elimina una de ellas y queda que :
A = (1 1 - 2) ( - 2
1 1)
A * = (1 1 - 2 2) ( - 2
1 1 - 2)
Por ser un sistema
compatible indeterminado se da un valor (Z = T) y se despejan las demás
variables :
Volviendo al sistema de
ecuaciones tradicional :
X + Y – 2Z = 2 - 2X + Y + Z = - 2
Sustituyendo Z :
X + Y – 2T = 2 - 2X + Y + T = - 2
Restando las ecuaciones se tiene :
3X – 3T = 4
X = (4 + 3T) / 3
Y = (2 + 3T) / 3
Prueba de selectividad para
la comunidad de Madrid.
Convocatoria Jun 2012 - 2013.
Matemáticas II.
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Esta es la solución dela respuesta alejercicio 2de la prueba de selectividadMadridconvocatoriajun 2012 - 2013deMatemáticaII : Dado el siguiente sistema de ecuaciones : ax + 7y + 5z = 0 x + ay + z = 3 y + z = - 2 a)…
Te facilito la solución dela respuesta alejercicio 1de la prueba de selectividadMadridconvocatoriajun 2012 - 2013deMatemáticaII : Dada la función a) Determinar los extremos absolutos de f(x) en [] Calculamos primero la…