Ejercicio 3 . Calificación máxima : 2 puntos. A) (1 punto) Hallar los puntos de corte de la recta de dirección (2, 1, 1) y que pasa por el punto P(4, 6, 2), con la superficie esférica de centro C(1, 2, −1) y radio √ 26. B) (1 punto) Hallar la distancia del punto Q(−2, 1, 0) a la recta r ≡ x − 1 2 = y + 2 = z − 3 2 . PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2012 - 2013 MATEMATICA II. Por favor.
Esta es la respuesta delejercicio 3 de la prueba de selectividad de la comunidad deMadrid, convocatoriaJun 2012 - 2013deMatemática II :
a) Nos piden hallar
cuales son los puntos de corte de la recta con dirección (2, 1, 1) que pasa por
P(4, 6, 2) con la superficie esférica de centro C(1, 2, - 1) y radio<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%0A%5Csqrt%7B26%7D%20" />
s : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20u_%7Bs%7D%20%3D%20%282%2C1%2C1%29%20" /> Ps(4, 6, 2)
s : x = 4 + 2λ
y = 6 + λ z = 2 + λ
Para la superficie esférica :
(x - 1)² + (y - 2)² + (z + 1)² = 26
Sustituimos s dentro de la superficie esférica :
(4 + 2λ - 1)² + (6 + λ - 2)² + (2 + λ + 1) ² = 26
⇒λ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%0A%5Cfrac%7B-1%7D%7B3%7D%20" /> , λ = - 4
⇒ P'<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%2C%20%5Cfrac%7B17%7D%7B3%7D%2C%20%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%0A%29" /> P''( - 4, 2, - 2)
b) Hallamos la distancia del punto Q( - 2, 1, 0) a la
recta r :
r≡ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%0A%5Cfrac%7Bx-1%7D%7B2%7D%20%20%3D%20y%20%2B2%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bz-3%7D%7B2%7D%20%20" />
r : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20u_%7Br%7D%20" /> = (2, 1, 2) Pr(1, - 2, 3)
→
PrQ = ( - 3, 3, - 3)
→
|PrQ| = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Di%26j%26k%5C%5C-3%263%26-3%5C%5C2%261%262%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A%3D%20%7C9%281%2C0%2C-1%29%7C%20%3D%209%20%5Csqrt%7B2%7D%20%3D%2012%2C7279%20" />
d(Q, r) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%7CPrQ%7C%7D%7B%20u_%7Br%7D%20%7D%20%29%20%3D%20%5Cfrac%7B9%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B3%7D%20%3D%203%0A%5Csqrt%7B2%7D%20u%20%3D%204%2C2426%20u%20" />.
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