Ejercicio 3. - Considera las matrices A = −1 1 1 0 1 0 −2 1 1 y B = −3 3 2 −8 7 4 8 −6 −3 . A) [1’75 puntos] Halla la matriz X que verifica AX + B = 2A. B) [0’75 puntos] Calcula B2 y B2016 . Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015 - 2016, Matematicas II.
Pregunta de PAU-Selectividad · 1 respuesta · 9 votos · mejor respuesta de Sebastiancampos
En resumen
A) Halla la matriz X que verifica AX + B = 2A. Se calcula el determinante de A. | - 1 1 1| Det(A) = | 0 1 0| = ( - 1)(1 – 0) – (1)(0 – 0) + (1)(0 + 2) = 1 | - 2 1 1| Como Det(A) ≠ 0 se concluye que la matriz A si tiene inversa.
A)
Halla la matriz X que verifica AX + B = 2A.
Se calcula el determinante de A.
| - 1 1 1|
Det(A) = | 0 1 0| = ( - 1)(1 – 0) – (1)(0 – 0) + (1)(0 + 2) =
1
| - 2 1 1|
Como Det(A) ≠ 0 se concluye que la matriz A si
tiene inversa.
La matriz inversa de A es :
( - 1 1 1 | 1
0 0)
( 0 1 0 |0
1 0)
( - 2 1 1 |0
0 1)
Operaciones matemáticas :
F1 = F1 – F3
F3 = F3 + 2F1
F3 = F3 – F2
La matriz inversa es : ( 1 0 - 1)
A ^ - 1 = ( 0 1 0) ( 2 - 1 - 1)
Ahora se despeja la expresión matemática :
AX + B = 2A
AX = 2A – B
A ^ - 1 * AX = 2 * A ^ - 1 * A – A ^ - 1 * B
X = 2 * I – A ^ - 1 * B (1 0
0) (1 0 - 1)
( - 3 3 2)
X = 2 * (0 1 0) – (0
1 0) * ( - 8 7 4) (0 0
1) (2 - 1 - 1) ( 8 - 6 - 3) (2 0
0) ( - 11 9 5)
X = (0 2 0) – ( - 8
7 4) (0 0
2) ( - 6 5 3) (13 9 5)
X = ( 8 - 5 - 4) ( 6 - 5 - 1)
b)
Calcula B ^ 2 y B ^ 2016.
B ^ 2 = B * B ( - 3 3
2) ( - 3 3 2)
B ^ 2 = ( - 8 7 4) * ( - 8
7 4) ( 8 - 6 - 3) ( 8 - 6 - 3) (1 0 0)
B ^ 2 = (0 1 0) (0 0 1)
Como la matriz B elevada a un número par es la matriz
identidad, es posible determinar que :
B ^ 2016 = (B ^ 2) ^ 1008 = I
(1 0 0)
B ^ 2016 = (0 1 0) (0
0 1)
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO
2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.
A) Halla la matriz X que verifica AX + B = 2A. Se calcula el determinante de A.
A) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa. Para que la matriz A tenga inversa se debe cumplir que Det(A) ≠ 0. ( - 1 - 1 a) Det(A) = ( - 3 2 a) = ( - 1)( - 2 - a ^ 2) – ( - 1)(3) + (a)( - 3a) ≠…
B) Determina, si existen, los valores de λ para los que la matriz A + A ^ t no tiene inversa (A ^ t es la matriz transpuesta de A). ( 1 λ 0) A ^ t = ( 0 1 0) (λ + 1 - 1 1) (1 0 λ + 1) ( 1 λ 0) (2 λ λ + 1) A + A ^ t = (λ…
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 1 2014 - 2015, MATEMATICAS II. A) Como Entonces, ⇒ Calculamos la inversa de A, obteniendo Ahora sustituimos para obtener la matriz X, b) | Primero calculamos las…
B) Calcula B ^ 2 y B ^ 2016. B ^ 2 = B * B ( - 3 3 2) ( - 3 3 2) B ^ 2 = ( - 8 7 4) * ( - 8 7 4) ( 8 - 6 - 3) ( 8 - 6 - 3) (1 0 0) B ^ 2 = (0 1 0) (0 0 1) Como la matriz B elevada a un número par es la matriz identidad,…
A) Calcula el rango de AB ^ t + λ * I según los valores de λ (B ^ t es la matriz transpuesta de B, I es la matriz identidad de orden 3). Se determina la matriz transpuesta de B. B ^ t = (1 1 1) Se aplica la ecuación. (…
A) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa. Para que la matriz A tenga inversa se debe cumplir que Det(A) ≠ 0. ( - 1 - 1 a) Det(A) = ( - 3 2 a) = ( - 1)( - 2 - a ^ 2) – ( - 1)(3) + (a)( - 3a) ≠…