Ejercicio 3. - Considera A = 1 −1 0 , B = 1 1 1 y C = 1 1 1 −1 −1 −1 0 0 0 . A) [1 punto] Calcula el rango de ABT + λI seg´un los valores de λ (BT es la matriz traspuesta de B, I es la matriz identidad de orden 3). B) [1’5 puntos] Calcula la matriz X que verifica CX − X = 2I. Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Septiembre 2015 - 2016, MATEMATICAS II.
En resumen
A) Calcula el rango de AB ^ t + λ * I según los valores de λ (B ^ t es la matriz transpuesta de B, I es la matriz identidad de orden 3). Se determina la matriz transpuesta de B. B ^ t = (1 1 1) Se aplica la ecuación.
A)
Calcula el rango de AB ^ t + λ * I
según los valores de λ (B ^ t es la matriz transpuesta de B, I es la matriz
identidad de orden 3).
Se determina la matriz transpuesta de B.
B ^ t = (1 1 1)
Se aplica la ecuación.
( 1)
(1 0 0)
( - 1) * (1 1 1) + λ * (0
1 0)
( 0) (0 0 1)
(1 1 1)
(λ 0 0)
( - 1 - 1 - 1) + (0
λ 0)
(0 0 0)
(0 0 λ)
(1 + λ 1 1)
( - 1 λ - 1 - 1)
( 0 0
λ)
El rango se calcula, con el determinante de la matriz.
|1 + λ 1 1|
| - 1 λ - 1 - 1| = (1 + λ)(λ)(λ - 1) – (1)( - λ) + (1)(0) = λ ^ 3
| 0 0
λ|
Si λ ≠ 0 entonces el rango es 3.
Si λ = 0 entonces el rango es 1.
B)
Calcula la matriz X que verifica CX – X = 2 * I
Se aplican las siguientes operaciones :
X * (C – I) = 2 * I
Se calcula por separado.
(1 1
1) (1 0
0) (0 1
1)
C – I = ( - 1 - 1 - 1) – (0
1 0) = ( - 1 - 2 - 1) (0 0
0) (0 0
1) (0 0 - 1)
(1 0 0) (2
0 0)
2 * I = 2 * (0 1 0) = (0
2 0)
(0 0 1)
(0 0 2)
Se obtiene la matriz inversa de (C – I).
( - 2 - 1 - 1)
(C – I) ^ - 1 = ( 1
0 1) (
0 0 - 1)
Se multiplica por la izquierda (C – I) ^ - 1.
X * (C – I) *
(C – I) ^ - 1 = 2 * I * (C – I) ^ - 1
X = 2 * I * (C
– I) ^ - 1 (2
0 0) ( - 2 - 1 - 1) ( - 4 - 2 - 2)
X = (0 2 0) * ( 1
0 1) = ( 2 0
0) (0 0
2) ( 0 0 - 1) ( 0 0 - 2)
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE
2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.
A) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa. Para que la matriz A tenga inversa se debe cumplir que Det(A) ≠ 0. ( - 1 - 1 a) Det(A) = ( - 3 2 a) = ( - 1)( - 2 - a ^ 2) – ( - 1)(3) + (a)( - 3a) ≠…
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