Ejercicio 2 ?

A) Calcular λ > 0 para

que la distancia entre r y s sea 9 / √59.

La ecuación que permite

determinar la distancia entre dos rectas es :

dr = |QP .

(D1xD2)| / |D1xD2|

Dónde :

dr es la distancia entre las

rectas.

QP es el vector formado por

los puntos de las rectas.

D1 es el director de la

recta 1.

D2 es el director de la

recta 2.

Primero se determina QP :

QP = P - Q = (2, - 1, 0) –

(1, 0, - 1) = (1, - 1, 1)

Siguiente se determina el

producto vectorial entre los vectores directores de las rectas : | i

j k |

D1xD2 = | 1 λ - 2 | | 1 0 - 1 |

D1xD2 = [(λ)( - 1) –

(0)( - 2)] * i – [(1)( - 1) – (1)( - 2)] * j + [(1)(0) –(1)(λ)] * k

D1xD2 = - λi – j – λk = ( - λ, - 1, - λ)

Ahora se determina el módulo

de D1xD2 :

|D1xD2| = √λ ^ 2 + 1 + λ ^ 2 =

√2λ ^ 2 + 1

Se determina el producto

escalar entre QP y D1xD2 :

QP .

D1xD2 = (1, - 1, 1) .

( - λ, - 1, - λ) = - λ + 1 – λ = 1 -

2λ

Ahora se sustituyen los

valores en la ecuación de la distancia :

9 / √59 = |1 - 2λ| / |√2λ ^ 2 + 1|

(2λ ^ 2 + 1) / 59 = (1 - 2λ) ^ 2 / 81

81 * (2λ ^ 2 + 1) = 59 * (1 - 4λ +

4λ ^ 2)

162λ ^ 2 + 81 = 59 – 236λ +

236λ ^ 2

74λ ^ 2 - 236λ - 22 = 0

λ1 = 3, 28

λ2 = - 0, 091

b) Calcular λ para que r sea

perpendicular a la recta que pasa por P y Q.

La condición para resolver

este problema es la de tener entre los vectores directores de las rectas un

producto escalar igual a cero.

El vector director de la

recta formada por P y Q es QP = (1, - 1, 1) y el vector director de r es D1 =

(1, λ, −2), por lo que el producto escalar queda :

QP .

D1 = 0

(1, - 1, 1) .

(1, λ, −2) = 0

1 – λ - 2λ = 0

1 - 3λ = 0

λ = 1 / 3

Prueba selectividad para la

comunidad de Madrid.

Convocatoria Jun 2014 - 2015.

Matemáticas II.