Ejercicio 1 ?

A) Calcular lımx→∞ f(x) y

lım x→−∞ f(x).

Para el límite cuando x

tiende a ∞ se aplica en primer lugar una evaluación :

lımx→∞ (x ^ 2 * e ^ –x) = 0 * ∞

(indeterminado)

Se reacomoda la función :

lımx→∞ (x ^ 2 / e ^ x) = ∞ / ∞

(Indeterminado)

Aplicando L’Hopital.

Lımx→∞ (2x / e ^ x) = ∞ / ∞

(Indeterminado)

Aplicando L’Hopital.

Lımx→∞ (2 / e ^ x) = 0

Cuando el límite tiende a - ∞.

Lım x→−∞ [a + ln(1 − x)] = a + ln(∞) = ∞

b) Calcular el valor de a,

para que f(x) sea continua en todo R.

Para que la función sea

continua en todo R se debe cumplir que los límites laterales deben ser iguales

y además la función evaluada debe ser igual a los límites laterales.

Lımx→0 + (x ^ 2 * e ^ –x) = 0

lım x→0− [a + ln(1 − x)] = a

Evaluando f(0) :

f(0) = 0 ^ 2 * e ^ –0 = 0

Entonces se debe cumplir

que :

lımx→0 + f(x) = lımx→0 - f(x) = f(0)

0 = a = 0

a = 0 (Para mantener la

continuidad)

c) Estudiar la derivabilidad

de f y calcular f ′, donde sea posible.

Para que una función sea

derivable se debe cumplir su continuidad, por lo tanto a = 0.

Ahora se deriva f(x) y se

obtiene que :

f(x) = {ln(1 − x), si x <

0 , x ^ 2 * e ^ −x , si x ≥ 0}

f’(x) = { - 1 / 1 - x, si x.