Ejercicio 1. - [2’5 puntos] De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12 800 m2 dividido en 3 parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas). Determina las dimensiones del solar y de cada una de las tres parcelas para que la longitud de la valla utilizada sea m ́ınima. Prueba de Selectividad, Andalucia, Reserva A 2015 - 2016, MATEMATICAS II.
En resumen
Se llama al largo X y al ancho Y del solar. 1) Se escribe la ecuación para que la cantidad necesaria sea mínima.
Se llama al largo X y al ancho Y del solar.
1)
Se escribe la ecuación para que la cantidad
necesaria sea mínima.
Para el largo se tiene la misma medida 2 veces, es decir :
2X
Para el ancho se tiene que con la división la medida se
repite 4 veces, es decir :
4Y
Finalmente la medida más pequeña es :
L = 2X + 4Y
2)
Se determinan las condiciones del problema y se
sustituye en la relación planteada anteriormente.
A = X * Y = 12800
X = 12800 / Y
Sustituyendo este valor :
L = 2(12800 / Y) + 4Y
L = 25600 / Y + 4Y
3)
Se deriva la primera vez para encontrar los
puntos críticos y la segunda vez para determinar su naturaleza.
Primera derivada :
L’ = 4 - 25600 / Y ^ 2 = 0
Y = ± 80
Segunda derivada :
L’’ = 51200 / Y ^ 3
Se sustituyen los puntos críticos encontrados.
L’’(80) = 0, 1 (Mínimo)
L’’( - 80) = - 0, 1 (Máximo)
Se sustituye el valor mínimo encontrado y se tiene que :
X = 12800 / 80 = 160
Los valores son X = 160 e Y = 80
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA RESERVA A 2015 - 2016
MATEMÁTICAS II.
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