2. dada una esfera de radio r, encontrar las dimensiones del cono circular recto de volumen mínimo que contiene a la esfera. Sugerencia : la generatriz del cono es tangente a la esfera, por lo tanto perpendicular al radio en el punto de corte. Establecer semejanza de triángulos rectángulos.
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 3 votos · mejor respuesta de MaydeniGalvan
Debido a que el volumen del cono estará dado en función del radio de la esfera podemos asumir que el radio del cono sera un multiplio del radio de la esfera(es decir, es proporcional)
En el diagrama adjunto podemos observar que los triangulos OB'A y OC'A son semejantes (comparten 2 lados iguales y el mismo angulo entre ellos)
por lo que podemos decir que el angulo A es un angulo doble.
Ahora bien en cualquiera de los 2 triangulos OB'A Y OC'A el valor de la tangente de<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Ctheta%20" /> es
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=tan%28%20%5Ctheta%20%29%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20" />
Ademas si conocemos el valor de la tangente del angulo doble podremos expresar la altura del cono en función del radio de la esfera :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=tan%28%202%5Ctheta%29%20%3D%20%5Cfrac%7B2tan%28%20%5Ctheta%29%7D%7B1-tan%5E2%28%20%5Ctheta%29%7D%20" />
conociendo el valor de <img src="https://tex.z-dn.net/?f=tan%28%20%5Ctheta%29" /> sustituimos y tenemos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=tan%28%202%5Ctheta%29%20%3D%20%5Cfrac%7B2a%7D%7Ba%5E2-1%7D%20" />
luego por trigonometria basica sabemos que la tangente es igual al cateto opuesto entre el adyacente por lo que tenemos que la altura del cono es igual a :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%20%2A%20%5Cfrac%7B2a%7D%7Ba%5E2-1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2a%5E2%7D%7Ba%5E2-1%7D%20" />
luego para simplificar cálculos hagamos que el radio de la esfera es igual a 1 por lo que finalmente podemos reescribir el volumen del cono como :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%20%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20r%5E2h%7D%7B3%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cpi%20a%5E2%282a%5E2%29%7D%7B3a%5E2-1%7D%20" />
por lo que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%20%3D%20%5Cfrac%7B2%20%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20%5Cfrac%7Ba%5E4%7D%7Ba%5E2-1%7D%20" /> teniendo todo esto en función de a finalmente podemos obtener la derivada e igualar a 0
con lo que en consecuencia el valor minimo de<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%20%3D%20%5Csqrt%7B2%7Dr%20" /> y el de<img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%20%3D%204r" />
por lo que con esta altura y esta constante de proporcionalidad con un radio de una esfera dada se obtiene que son sus valores mínimos.
Vc = 1 / 3pir ^ 2h Ve = 4 / 3pir ^ 3 reemplazando y dividiendo sale 1 / 2.
Respuesta : Para resolver este ejercicio planteamos primero el volumen de un cono : V = 1 / 3·π·r²·h (1) Observando la figura adjunta, en el triangulo rectángulo que se forma si aplicamos pitágoras nos queda que : r² =…
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Se inscribe una esfera dentro de un cono circular recto de base 8cm y generatriz 8cm. Encontrar el volumen de la esfera. Lo primero que hacemos es un esquema grafico y colocamos todos los datos que tenemos. Tenemos la…
Respuesta : V = 10, 67 π m³Explicación paso a paso : en la figen el triangulo ABCBC = AC / 2 BC = 4√3 m / 2BC = 2√3 m - - - - - - - - por pitagoras(3R)² + (2√3 m)² = (4√3 m)²9R² + 12 m² = 48 m²9R² = 48 m² - 12 m²9R² =…
Lo que buscas es (1 / 2 volumen de la esfera - volumen de un cono de 4m de diametro) V esfera = 4 / 3 * pi * r ^ 3 = 4 / 3 * pi * 4 ^ 3 = 268m ^ 3 la mitad de ese volumen son 134m ^ 3V cono = (pi * r ^ 2 * h) / 3 = (pi…
El valor del volumen del cono es de V = 24πm³Explicación paso a paso : De la imagen adjunta calculamos los ángulos, para obtener el valor del radioAplicamos la razón del seno, para el angulo superiorSenα = Co / hα =…