Dado una esfera de radio R calcule en función de R el radio r y la altura H del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera?

Respuesta :

Para resolver este ejercicio planteamos primero el volumen de un cono : V = 1 / 3·π·r²·h (1)

Observando la figura adjunta, en el triangulo rectángulo que se forma si aplicamos pitágoras nos queda que : r² = R² - (h - R)² r² = 2hR - h² (2)

Sustituimos la ecuación (2) en la ecuación (1), entonces : V = 1 / 3·π·(2hR - h²)·h V = 1 / 3·π· (2h²R - h³) (3)

Derivamos la ecuación (3) respecto al la altura e igualamos a cero.

DV / dh = 1 / 3·π·(4hR - 3h²) 1 / 3·π·h·(4R - 3h) = 0

Se nos presenta dos alternativas

1 - h = 0

2 - 1 / 3·π·(4R - 3h) = 0 - - - - - - - - - - > h = 4 / 3·R (4)

Ahora en radio de la base del cono será : r² = R² - (h - R)²

Sabemos que h = 4 / 3·R r² = R² - (4 / 3·R - R)² (5)

Entonces finalmente el volumen será la sustitución de 4 y 5 en 1 : V = 1 / 3·π·(R² - (4 / 3·R - R)²)·4 / 3R

Simplificando queda : V = (32·π / 81)·R³.