Se contesta cada uno de las preguntas dadas : Pregunta #1 : distancia entre la recta y un puntoDistancia de un punto a una recta : la distancia de un punto P(x1, y1) a una recta L : AX + BY + C = 0 esta dada por la ecuación : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=D%28P%2CL%29%3D%20%5Cfrac%7B%20%7CAx1%2BBy1%2BC%7C%7D%7B%5Csqrt%7BA%5E%7B2%7D%2B%20B%5E%7B2%7D%7D%7D" />Tenemos la recta L : 3x + ky + 2 = 0 : k∈R y el punto (1, 1) : entonces la distacncia entre el punto y la recta es : D(P, L) = |3 * 1 + k * 1 + 2| / (√(3² + k²)) = |3 + k + 2| / (√9 + k²) = |5 + k| / (√9 + k²)a.
Igual a 2 unidades : entonces igualamos a 2 unidades|5 + k| / (√9 + k²) = 2(5 + k)² / (9 + k²) = 4 25 + 10k + k² = 4 * (9 + k²)25 + 10k + k² = 36 + 4k²4k² - k² - 10k + 36 - 25 = 03k² - 10k + 11 = 0El discriminante es negativo : la distancia nunca es igual a 2b.
Menor que 5 unidades : colocamos la distancia menor a 5|5 + k| / (√9 + k²) < 5Ambos lados son positivos : puedo aplicar la raíz cuadrada(5 + k)² / (9 + k²) < 259 + k² es positivo 25 + 10k + k² < 25 * (9 + k²)25 + 10k + k² < 225 + 25k²0 < 25k² - k² - 10k + 225 - 250 < 24k² - 10k + 200 Nunca es igual a cero : entonces siempre es positiva o siempre es negativa.
Si k = 1 24 * 1 - 10 + 200 = 14 + 200 = 214, la distancia siempre sera menor a 5 unidades.
C. Mayor que 1 unidad.
|5 + k| / (√9 + k²) > 1Ambos lados son positivos : puedo aplicar la raíz cuadrada(5 + k)² / (9 + k²) > 19 + k² es positivo 25 + 10k + k² > 1 * (9 + k²)25 + 10k + k² > 9 + k²0 > k² - k² - 10k + 9 - 250 > - 10k - 160 > - (10k + 16)0 < 10 k + 16 - 16 / 10 < kk > - 1.
6 Pregunta #2 : distancia y punto medio entre puntos : La distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) es : d = √((x1 - x2)² + (y1 - y2)²)El punto medio es : PM = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)Buscamos la distancia y punto medioa.
(1, 2) ; ( - 2, 3) : d = √((1 + 2)² + (2 - 3)²) = √(9 + 1) = √10PM = ((1 - 2) / 2, (2 + 3) / 2) = ( - 0.
5, 2.
5)b. (0, 3) ; (1, 5)d = √((0 - 1)² + (3 - 5)²) = √(1 + 4) = √5PM = ((0 + 1) / 2, (3 + 5) / 2) = (0.
5, 4)c.
( - 2, - 1) ; ( - 3, 4)d = √(( - 2 + 3)² + ( - 1 - 4)²) = √(1 + 25) = √26PM = (( - 2 - 3) / 2, ( - 1 + 4) / 2) = ( - 2.
5, 1.
5)d. (2, 4) ; (3, 4)d = √((2 - 3)² + (4 - 4)²) = √(1 + 0) = √1 = 1PM = ((2 + 3) / 2, (4 + 4) / 2) = (2.
5, 4)e.
( - 4, 6) ; ( - 7, 6)d = √(( - 4 + 7)² + (6 - 6)²) = √(9 + 0) = √9 = 3PM = (( - 4 - 7) / 2, (6 + 6) / 2) = ( - 5.
5, 6)Pregunta #3 : Ecuación de la recta : La ecuación de una recta que pasa por los puntos A(x1, y1) B(x2, y2) es : y - y1 = m * (x - x1)Donde m es la pendiente de la recta y se determina por : m = (y2 - y1) / (x2 - x1)Si una recta tiene ecuación : y = m * x + b entonces "m" es la pendiente, dos ecuaciones son paralelas si tienen la misma pendienteEntonces como queremos que la recta sea paralela a : 2x + y - 1 = 0⇒y = - 2x + 1, entonces la pendiente m = - 2y queremos que pase por (5, - 1)y + 1 = - 2 * (x - 5)y + 1 = - 2x + 102x + y + 1 - 10 = 02x + y - 9 = 0 Esta es la recta que pasa por (5, - 1) y es paralela a 2x + y - 1 = 0Pregunta #4 : recta que intersecta al eje x en un punto y es paralela a otra : El punto de intersección con el eje x : de una función se hace cuando y = 02x - 5y + 6 = 0 intersecta al eje x si y = 02x + 6 = 02x = - 6x = - 6 / 2x = - 3, pasa por ( - 3, 0)Como es paralela a 4x - 2y - 5 = 0 ⇒ 4x - 5 = 2yy = 2x - 5 / 2, la pendiente es m = 2y - 0 = 2 * (x + 3)y = 2x + 62x - y + 6 = 0.
Opción cPregunta #5 : Circunferencia tangente a los ejes ordenadosLa ecuación de una circunferencia con centro C(h, k) y con radio "r", es igual (x - h)² + (y - k)² = r²Tenemos que el centro es : (2, 2) si es tangente a los ejes ordenados entonces h = k = r = 2(x - 2)² + (y - 2)² = 2² Ecuación conica de la circunferenciaPregunta #6 : Ecuación de la circunferencia con centro y tangente a la rectaEnnces el radio de la recta : sera la distancia entre el centro y la recta tangenteL : 2x - 3y - 15 = 0P = (4, 1)D(P, L) = |2 * 4 + - 3 * 1 - 15| / (√(2² + ( - 3)²)) = | - 10| / (√13) = 10 / √13 = (10√13) / 13Entonces la ecuación conica sera : (x - 4)² + (y - 1)² = ( (10√13) / 13)²Puedes visitar : brainly.
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