Diseño de un tanque en forma de cilindro recto. La fundidora donde usted trabaja ha sido contratada para diseñar y construir un tanque cilíndrico, abierto por arriba y con una capacidad de 500 pies3. El tanque se tiene que hacer soldando placas delgadas de acero a lo largo de sus bordes. Como ingeniero de producción, su trabajo consiste en determinar las dimensiones de la base y la altura que harán que el tanque pese lo menos posible.
En resumen
El tanque de menor peso es el de menor cantidad de material de construcción, es decir el de menor área superficial posible. Esta es la suma de las áreas lateral y de piso del cilindro y es mínima cuando el radio es igual a <img src="https://tex.z-dn.net/?
El tanque de menor peso es el de menor cantidad de material de construcción, es decir el de menor área superficial posible.
Esta es la suma de las áreas lateral y de piso del cilindro y es mínima cuando el radio es igual a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=5%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cpi%7D%20%7D" /> pies y la altura es igual a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=5%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cpi%7D%20%7D" /> pies.
Explicación paso a paso : La función objetivo es el área superficial del cilindro abierto.
Si llamamos h la altura y r el radio ; la función objetivo viene dada por : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D2%5Cpi%20rh%2B%5Cpi%20r%5E%7B2%7D" />Lo conveniente es que el área este expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%5Cpi%20r%5E%7B2%7Dh%3D500" /> de aqui <img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Cfrac%7B500%7D%7B%5Cpi%20r%5E%7B2%7D%7D" />por tanto la función objetivo es<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%5Cfrac%7B1000%7D%7Br%7D%2B%5Cpi%20r%5E%7B2%7D" />Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función.
Esto es derivar la función e igualar a cero.
Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%3D-%5Cfrac%7B1000%7D%7Br%5E%7B2%7D%7D%20%2B2%20%5Cpi%20r" />A' = 0 ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%3D-%5Cfrac%7B1000%7D%7Br%5E%7B2%7D%7D%20%2B2%20%5Cpi%20r%20%3D0" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=-1000%2B2%20%5Cpi%20r%5E%7B3%7D%3D0" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B500%7D%7B%5Cpi%7D%7D" /> Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
[img = 10]Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
[img = 11]0" alt = "A''_{ \ sqrt[3]{ \ frac{500}{ \ pi}}}>0" align = "absmiddle" class = "latex - formula"> ⇒ [img = 12] es un mínimo de la función A.
Cuarto, hallamos el valor de h sustituyendo el valor de r en la expresión correspondiente[img = 13].
V = volumen del tanque V = 1080 L = 1. 08 m³ L = 60cm = 0. 6m a = 40cm = 0. 4m Á = área del hexágono P = perímetro del hexágono P = 0. 6x6 = 3. 6 m Á = P * a / 2 = 0. 72m² V = Á * h h = V / Á = 1. 08m³ / 0. 72m² = 1. 5m.
Respuesta : El tanque lleno es 3 / 3 = 24 galones. Está lleno sólo 1 / 3, es decir, 8 galones. Le caben 2 / 3 más, en total 16 galones. Explicación :
Podemos plantear una regla de tres : Cambio de volumen (litros) tiempo de llenado (segundos) 30 24 ΔV 8 Como el tanque inicialmente tenía 10 litros, al sumar estos 10 adicionales se convierten en 20 litros. Un saludo.
V = πR²•h Derivando : Dv / dt = πR²(dh / dt) Si observas el radio no se derivó puesto que es constante. La variación solo ocurre en la altura y por supuesto en el volumen. Sustituyendo los datos que tenemos : dv / dt =…
Datos : V1 = 500m³Acero de 2 mm de espesor = 0, 002mVolumen : V = x² h h = 500 / x² siendo x el lado de la base. Y el área total sin tapa es A = x² + 4 xh Reemplazando el valor hallado de h, se tiene A = x² + 4x (500 /…
L = r∛(4 / 3)π Datos : Tanque esférico . Tanque cúbico. Ambos tanques poseen el mismo volumen. Fórmula del volumen de una esfera. Vesf = (4 / 3)πr³ El volumen de un cubo está determinado por la multiplicación de las…