Ejercicio 4. - Considera las rectas r y s dadas por r ≡ x = 1 + 2λ y = 1 − λ z = 1 y s ≡ x + 2y = −1 z = −1 a) [1’5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuaci´on del plano que las contiene. Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015 - 2016, Matematicas II.
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En resumen
A) Comprueba que ambas rectas son coplanarias y haya la ecuación del plano que las contiene. Se determinan en primer lugar los vectores directores de las rectas r y s. Para la recta r, su director son los coeficientes que acompañan a la variable λ.
A)
Comprueba que ambas rectas son coplanarias y
haya la ecuación del plano que las contiene.
Se determinan en primer lugar los vectores directores de las
rectas r y s.
Para la recta r, su director son los coeficientes que
acompañan a la variable λ.
Vdr = (2, - 1, 0)
A (1, 1, 1)
Para la recta s, su director se consigue dando un valor λ a
las variables X o Y.
Si X = λ.
X = λ
Y = ( - λ – 1) / 2
Z = - 1
Vds = (1, - 1 / 2, 0)
B (0, - 1 / 2, - 1)
Se verifica la colinealidad entre los directores de las
rectas :
Vdr = β * Vds
(2, - 1, 0) = β * (1, - 1 / 2, 0)
β = 2
Se comprueba que las rectas son proporcionales y por lo tanto
coplanarias.
Ahora se determina un plano que contenga al vector director
de r y s además de sus respectivos puntos.
Se determina el vector AB formado por los puntos de la recta
y se aplica el producto vectorial con el director de cualquiera de las rectas.
AB = (0, - 1 / 2, - 1) – (1, 1, 1) = ( - 1, - 3 / 2, - 2)
Vdr x AB = (2, - 1, 0) x ( - 1, - 3 / 2, - 2)
Vdr x AB = (2, 4, - 4)
El producto vectorial es la normal del plano buscado.
Π : 2X + 4Y – 4Z + D = 0
Si se sustituye el punto A se encuentra el valor de D.
2(1) + 4(1) – 4(1) + D = 0
D = - 2
Finalmente la ecuación del plano es :
π : 2X + 4Y – 4Z – 2 = 0
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO
2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.
A) Comprueba que ambas rectas son coplanarias y haya la ecuación del plano que las contiene. Se determinan en primer lugar los vectores directores de las rectas r y s.
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