Ejercicio 4. - Sea r la recta dada por ( x + z = 1 y = −1 y sea s la recta definida por x = 2 + λ y = 2 z = 2 + 2λ a) [1’75 puntos] Comprueba que las rectas r y s se cruzan y halla la ecuaci ́on de la recta que corta perpendicularmente a r y a s. B) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre r y s. Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 4 2015 - 2016, MATEMATICAS II.
En resumen
A) Comprueba que las rectas r y s se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y s. Se obtiene el vector director y el punto de las rectas r y s.
Salayne
A) Comprueba que las rectas r y s se cruzan y halla la
ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y s.
Se obtiene el vector director y el punto de las rectas r y
s.
Para la recta r :
Vdr = ( - 1, 0, 1)
A (1, - 1, 0)
Para la recta s :
Vds = (1, 0, 2)
B (2, 2, 2)
Se determina el vector AB.
AB = B – A = (2, 2, 2) – (1, - 1, 0) = (1, 3, 2)
Se comprueba si las 2 rectas se cruzas cuando el
determinante de la matriz creada con Vdr, Vds y AB es distinto de 0.
| - 1 0 1|
| 1 0 2| = 3 + 6 = 9
| 1 3 2|
Como Det ≠ 0 se comprueba que las rectas se
cruzan.
Se tiene que cualquier punto de las rectas r y s, además del
vector entre ambos puntos es :
Pr (1 – t, - 1, t)
Ps (2 + q, 2, 2 + 2q)
PsPr = Pr – Ps = (1 – t, - 1, t) – (2 + q, 2, 2 + 2q) = ( - 1 -
t – q, - 3, t – 2 – 2q)
Como PsPr es perpendicular a Vdr y Vds se tiene que :
PsPr * Vdr = 0
( - 1 - t –
q, - 3, t – 2 – 2q) * ( - 1, 0, 1) = 0
1 + t + q +
t – 2 – 2q = 0
2t – q – 1 = 0
PsPr * Vds = 0
( - 1 - t –
q, - 3, t – 2 – 2q) * (1, 0, 2) = 0 - 1 – t – q + 2t – 4 – 4q = 0
t – 5q – 5 = 0
El sistema de ecuaciones queda :
2t – q – 1 = 0
t – 5q – 5 = 0
Se despeja t de la segunda ecuación y se sustituye en la
primera.
T = 5 + 5q
2(5 + 5q) – q – 1 = 0
10 + 10q – q – 1 = 0
q = - 1
Sustituyendo el valor de q se tiene que t es :
t = 5 + 5( - 1) = 0
El vector director PsPr es :
PsPr = ( - 1 - 0 – ( - 1), - 3, 0 – 2 – 2( - 1)) = (0, - 3, 0)
Pr (1 – 0, - 1, 0) = Pr (1, - 1, 0)
La ecuación de la recta perpendicular a r y s es :
m : λ * (0, - 3, 0) + (1, - 1, 0)
b) Calcula la distancia entre r y s.
La distancia entre r y s es la distancia del vector director
de la recta perpendicular a r y s.
PsPr = (0, - 3, 0)
|PsPr| = √0 ^ 2
( - 3) ^ 2 + 0 ^ 2
|PsPr| = 3
La distancia entre las rectas r y s es de 3.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA MODELO 4
2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.
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