Ejercicio 3 . Calificación máxima : 2 puntos. Dada la ecuación matricial : a 2 B = 1 1 3 7 · 1 1 , donde B es una matriz cuadrada de tama˜no 2 × 2, se pide : a) (1 punto) Calcular el valor o valores de a para los que esta ecuación tiene solución. B) (1 punto) Calcular B en el caso a = 1. Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013 - 2014. Matemáticas II. Gracias.
En resumen
Esta es la solución al ejercicio 3 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013 - 2014. Matemáticas II : Dada la ecuación matricial, suponiendo que B es también una matriz de 2x2 : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Esta es la solución al ejercicio 3 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid.
Convocatoria Jun 2013 - 2014.
Matemáticas II :
Dada la ecuación
matricial, suponiendo que B es también una matriz de 2x2 :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7Da%262%5C%5C3%267%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D.%20B%20%3D%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D1%261%5C%5C1%261%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20" />
a) Determinamos cuales son los valores de a para
los que la ecuación se satisface y genera esa solución :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%20.%20B%20%3D%20C" />
Despejando :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=B%20%3D%20A%5E%7B-1%7D.%20C" />
Esta ecuación solo tiene solución si A es una
matriz invertible.
Para saber que valores de a generan una matriz invertible
debemos calcular el determinante de A :
det(A) = 7a - 6 = 0
a = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B6%7D%7B7%7D%20" />
si a = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B6%7D%7B7%7D%20" /> ⇒ det(A) = 0 ∴ A no es invertible
si a ≠ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B6%7D%7B7%7D%20" /> ⇒ det(A) ≠ 0 ∴ A es invertible
b) Calculamos cual es la matriz B para cuando a = 1
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%20%3D%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D1%262%5C%5C3%267%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20A%5E%7B-1%7D%20%3D%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D7%26-3%5C%5C-2%261%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />
Luego,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=B%20%3D%20A%5E%7B-1%7D.%20C%20%3D%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D7%26-2%5C%5C-3%261%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D1%261%5C%5C1%261%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D5%265%5C%5C-2%26-2%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20" />.
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