Ejercicio 3 . Calificación máxima : 2 puntos. Dados los puntos A(2, −2, 1), B(0, 1, −2), C(−2, 0, −4), D(2, −6, 2), se pide : a) (1 punto) Probar que el cuatrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar la distancia entre los dos lados paralelos. B) (1 punto) Hallar el área del triángulo ABC. Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012 - 2013. Matemáticas II.
En resumen
A) Probar que el cuadrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar la distancia entre los dos lados paralelos. Para comenzar se forman los vectores que serán los lados del cuadrilátero.
A) Probar que el
cuadrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar la
distancia entre los dos lados paralelos.
Para comenzar se forman los
vectores que serán los lados del cuadrilátero.
AB = B – A = (0, 1, −2) –
(2, −2, 1) = ( - 2, 3, - 3)
BC = C – B = (−2, 0, −4) -
(0, 1, −2) = ( - 2, - 1, - 2)
CD = D – C = (2, −6, 2) –
(−2, 0, −4) = (4, - 6, 6)
DA = A – D = (2, −2, 1) - (2, −6, 2) = (0, - 4, - 1)
Para determinar si existen
vectores paralelos, debe existir una constante λ que al multiplicar a uno de
los vectores lo convierta en el otro (linealmente dependiente).
AB = λ * CD
( - 2, 3, - 3) = λ * (4, - 6, 6)
λ = - 1 / 2
Por lo tanto AB y CD son
paralelos.
BC = λ * DA
( - 2, - 1, - 2) = λ * (0, - 4, - 1)
BC y DA no son paralelos.
Con esto se concluye que el
cuadrilátero es un trapecio.
Ahora para conocer la altura
del trapecio se busca la distancia que hay desde el punto C hasta la recta que
pasa por AB.
D = |AC x AB| / |AB|
El vector AC es :
AC = C – A = (−2, 0, −4) -
(2, −2, 1) = ( - 4, 2, - 5)
AC x AB = ( - 4, 2, - 5) x ( - 2,
3, - 3) = (9, - 2, 8)
|AC x AB| = √(9) ^ 2 + ( - 2) ^ 2 + (8) ^ 2 = √149
|AB| = √( - 2) ^ 2 + (3) ^ 2 +
( - 3) ^ 2 = √22
D = √149 / √22 = √149 / 22
b) Hallar el área del
triángulo ABC.
El área del triángulo
formado por los puntos A, B y C se calcula de la siguiente forma :
Área = |AC x AB| / 2 = √149 / 2 u ^ 2
Prueba de selectividad para
la comunidad de Madrid.
Convocatoria Jun 2012 - 2013.
Matemáticas II.
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