Ejercicio 3 . Calificación máxima : 2 puntos. Dados los puntos A(2, 0, −2), B(3, −4, −1), C(5, 4, −3) y D(0, 1, 4), se pide : a) (1 punto) Calcular el àrea del triàngulo de vèrtices A, B y C. B) (1 punto) Calcular el volumen del tetraedro ABCD. Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013 - 2014. Matemáticas II. Ayuda por favor.
Pregunta de PAU-Selectividad · 1 respuesta · 9 votos · mejor respuesta de Carol003
Esta es la solución al ejercicio 3 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid, convocatorio Jun 2013 - 2014 de Matemáticas II
Nos dan como datos
iniciales los siguientes puntos :
A(2, 0, - 2) B(3, - 4, - 1)
C(5, 4, - 3) D(0, 1, 4)
a) Debemos calcular el área de un triángulo
generado por los puntos A, B y C :
Área = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bbase.altura%7D%7B2%7D%20" />
→
A.
B = (3 - 1, - 4 - 0, - 1 - ( - 2)) = (2, - 4, 1)
→
A.
C = (5 - 2, 4 - 0, - 3 - ( - 2)) = (3, 4, - 1)
Para calcular el área usamos la relación
expresada anteriormente y el producto cruz :
S = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3D%20%7C%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Di%26j%26k%5C%5C1%26-4%261%5C%5C3%264%26-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A%5D%20%7C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%7C%280%2C4%2C16%29%7C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Csqrt%7B%200%5E%7B2%7D%20%2B%204%5E%7B2%7D%20%2B%2016%5E%7B2%7D%20%7D%20%3D%202%0A%5Csqrt%7B17%7D%20" />≈ 8, 25<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20u%5E%7B2%20" />
b) Debemos calcular el volumen de un tetraedro
formando por ABCD :
→
A.
D = (0 - 2, 1 - 0, 4 - ( - 2)) = ( - 2, 1, 6)
El volumen se calcula de la siguiente
forma : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dxa%26xb%26xc%5C%5Cya%26yb%26yc%5C%5Cza%26zb%26zc%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A" />
V = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%26-4%261%5C%5C3%264%26-1%5C%5C-2%261%266%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B50%7D%7B3%7D%20u%5E%7B3%7D" />.
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