Ejercicio 3 ?

A) Estudiar el crecimiento

de la función f(x) = 1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3.

Para estudiar el crecimiento

de la función f(x), hay que estudiar su derivada, en cuyo caso cuando f’(x)

> 0 entonces la función crece para el intervalo de estudio.

Se procede entonces a

encontrar la derivada de f(x) :

f’(x) = (1)’ + (2x)’ + (3x ^ 2)’ + (4X ^ 3)’ = 0 + 2 + 6x + 12x ^ 2

f’(x) = 2 + 6x + 12x ^ 2

Como el término cuadrático

es positivo, se concluye que es una parábola cóncava.

Para determinar su vértice

se tiene que :

X = - 6 / (2 * 12) = - 1 / 4

Y = 2 + 6( - 1 / 4) + 12( - 1 / 4) ^ 2 = 1, 25

La ecuación de f’(x) es una

parábola cóncava y cuyo vértice se encuentra en ( - 1 / 4, 5 / 4).

Con esto es posible concluir

que como el mínimo de f’(x) > 0 en todo el campo de los números reales, eso

quiere decir que f(x) crece para todo su

dominio.

B) Demostrar que la ecuación

1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3 = 0 tiene una única solución real y localizar un intervalo

de longitud 1 que la contenga.

Para demostrar que f(x) solo

tiene una raíz real, se toma el intervalo de estudio [ - 1, 0] que tiene de

longitud 1.

Se evalúa la función en los

extremos del intervalo :

f( - 1) = 1 + 2( - 1) + 3( - 1) ^ 2 + 4( - 1) ^ 3 = - 2

f(0) = 1 + 2(0) + 3(0) ^ 2 +

4(0) ^ 3 = 1

Como existe un cambio en el

signo del intervalo se puede concluir que hay al menos una raíz real para este

intervalo.

Ahora se deriva la función y

se iguala a cero para determinar los posibles valores de X donde exista un f(x) = 0.

F’(x) = 12X ^ 2 + 6X + 2 = 0

X no tiene raíces reales

para f’(x) por lo tanto se concluye que f(x) solo tiene una raíz real en el

intervalo [ - 1, 0].

Prueba selectividad para la

comunidad de Madrid.

Convocatoria Jun 2014 - 2015.

Matemáticas II.