Ejercicio 1 ?

A) Hallar las asíntotas de

su gráfica.

F(x) = (35X – 100) / [(X –

4) * (2X + 2)]

Primero se estudiarán las

asíntotas verticales, las cuales deben cumplir con lo siguiente :

X = C y Lím x - > a f(x) =

±∞

El evalúa el dominio de la

función :

X – 4 ≠ 0

X ≠ 4

2X + 2 ≠ 0

X ≠ - 1

D = R – { - 1, 4}

Se calcula el límite de la

función para X = - 1 y X = 4 :

Lím x - > - 1 {(35X – 100) / [(X – 4) * (2X + 2)]}

Se calculan los límites

laterales :

Lím x - > - 1 - {(35X – 100) / [(X – 4) * (2X + 2)]} = - 135 / 0 - = ∞

Lím x - > - 1 + {(35X – 100) / [(X – 4) * (2X + 2)]} = - 135 / 0 + = - ∞

Lím x - > 4 {(35X – 100) /

[(X – 4) * (2X + 2)]}

Se calculan los límites

laterales :

Lím x - > 4 - {(35X – 100) / [(X – 4) * (2X + 2)]} = 28 / 0 - = - ∞

Lím x - > 4 + {(35X – 100) / [(X – 4) * (2X + 2)]} = 28 / 0 + = ∞

Si existen asíntotas en X = - 1 y X = 4

Ahora se calculan las

asíntotas horizontales, las cuales deben cumplir que :

f(x) = C y Lím x - > ±∞

f(x) = K

Evaluando el límite :

Lím x - > ±∞ {(35X – 100) / [(X – 4) * (2X + 2)]} = ∞ / ∞ (Indeterminado)

Se aplica L’Hopital :

Lím x - > ±∞ [35 / (4X –

6)] = 35 / ±∞ = 0

Por lo tanto hay una

asíntota horizontal en f(x) = 0.

Al existir asíntota

horizontal, se descarta la posibilidad de la existencia de alguna asíntota

oblicua.

B) Determinar los intervalos

de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión.

Para estudiar el

crecimiento, decrecimiento y los puntos de inflexión hay que estudiar f’(x) y

f’’(x).

F’(x) = ( - 35X ^ 2 + 200x – 440) / [2 * (X ^ 2 – 3X – 4) ^ 2]

f’’(x) = (35X ^ 3 – 300X ^ 2 + 1320X – 1720) / (X ^ 2 – 3X – 4) ^ 3

Para estudiar el crecimiento

y decrecimiento se evalúa de modo que f’(x) >0 (crece) y f’(x) < 0

(decrece).

Los puntos de inflexión se

dan cuando f’’(x) = 0.

Iniciando por los puntos de

inflexión se tiene que :

f’’(x) = 0

(35X ^ 3 – 300X ^ 2 + 1320X – 1720) / (X ^ 2 – 3X – 4) ^ 3 = 0

Para que la división sea

cero, el numerador debe ser cero, por lo tanto :

35X ^ 3 – 300X ^ 2 + 1320X – 1720 = 0

X = 2

Junto con los puntos del

dominio se tiene que los puntos de inflexión son :

X1 = - 1

X2 = 2

X3 = 4

Ahora se estudia el

crecimiento o decrecimiento.

Como f’(x) siempre será un

número menor a 0 para todo valor del dominio, se tiene que la función en cada

momento es decreciente.

C) Esbozar la gráfica de la

función.

Ahora se evalúa la

concavidad y convexidad con el fin de la posterior construcción de la gráfica

de la función.

Si f’’(x) > 0 es cóncava,

si f’’(x) < 0 es convexa.

En el intervalo ( - ∞, - 1) :

f’’( - 2) = [35( - 2) ^ 3 – 300( - 2) ^ 2 +

1320( - 2) – 1720) / [( - 2) ^ 2 – 3( - 2) – 4] ^ 3 = - 162, 2 < 0 (convexa)

En el intervalo ( - 1, 2) :

f’’(0) = [35(0) ^ 3 – 300(0) ^ 2 + 1320(0) – 1720) / [(0) ^ 2 – 3(0) – 4] ^ 3 = 1720 / 4 > 0 (cóncava)

En el intervalo (2, 4) :

f’’(3) < 0 (convexa)

En el intervalo (4, ∞) :

f’’(5) > 0 (cóncava)

Con estos datos es posible

construir la gráfica, como se observa en la imagen adjunta.

Prueba de selectividad para

la comunidad de Madrid.

Convocatoria Jun 2012 - 2013.

Matemáticas II.