Ejercicio 1. - [2’5 puntos] Determina a y b sabiendo que b > 0 y que la funci ́on f : R → R definida como f(x) = a cos(x) + 2x si x < 0 a 2 ln (x + 1) + b x + 1 si x ≥ 0 es derivable. (ln denota la funci ́on logaritmo neperiano). Prueba de Selectividad, Andalucia, Modelo 5 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
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En resumen
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014 - 2015, MATEMATICAS II. Para comprobar que la función sea derivable el x = 0 debemos estudiar su continuidad en dicho valor, a través del cálculo de sus límites de la siguiente forma : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Prueba
de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 5 2014 - 2015, MATEMATICAS II.
Para comprobar que la función sea
derivable el x = 0 debemos estudiar su continuidad en dicho valor, a través del cálculo
de sus límites de la siguiente forma :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%0A%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E-%7D%20%20acosx%2B2x%3Da" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%5E%2B%7D%20%20a%5E2ln%28x%2B1%29%2B%5Cfrac%7Bb%7D%7Bx%2B1%7D%20%3Db" />
Por lo tanto<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%3Db" />
De esta forma, podemos calcular la
derivada de f(x)
f’(x) =
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-asenx%2B2%20" /> si<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x%5C%20%5Ctextless%20%5C%200" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%7D%20-%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D" /> si<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%20%5Cgeq%200" />
por ser derivable en x = 0 ,
entonces se cumple que
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%280%5E-%29%3D2" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%280%5E%2B%29%3Da%5E2-b" />
⇒<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2-b%3D2" />
si formamos un sistema de
ecuaciones podemos calcular los valores solicitados, asi :
[img = 10]
⇒[img = 11]
⇒[img = 12]
como b>0, entonces[img = 13].
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