Ejercicio 1. - [2’5 puntos] Sabiendo que lim x→0 ln(x + 1) − a sen(x) + x cos(3x) x 2 es finito, calcula a y el valor del l´ımite (ln denota logaritmo neperiano). Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015 - 2016, Matematicas II.
En resumen
1) Se evalúa el valor del logaritmo. Lim x - > 0 [ln(x + 1) – a * sen(x) + x * Cos(3x) / x ^ 2] = [ln(0 + 1) – a * sen(0) + 0 * Cos(3 * 0) / 0 ^ 2] = 0 / 0 (indeterminado) 2) Se aplica L’Hopital.
1)
Se evalúa el valor del logaritmo.
Lim x - >
0 [ln(x + 1) – a * sen(x) + x * Cos(3x) / x ^ 2] = [ln(0 + 1) – a * sen(0) + 0 * Cos(3 * 0) / 0 ^ 2] = 0 / 0
(indeterminado)
2) Se aplica L’Hopital.
El método de L’Hopital consiste en derivar el numerador y
denominador por separado cuando el límite es una indeterminación 0 / 0 ó ∞ / ∞.
Se aplica la derivada al límite original y se tiene que :
Lim x - >0 [(1 / x + 1) – a * cos(x) + cos(3x) – 3x * sen(3x) /
2x]
3)
Se evalúa la expresión obtenida por el método de
L’Hopital.
Lim x - >0 [(1 / x + 1) – a * cos(x) + cos(3x) – 3x * sen(3x) /
2x] = 1 – a * cos(0) + cos(3 * 0) – 3 * 0 * sen(3 * 0) / 2 * 0 = (1 – a + 1) / 0
Como en el enunciado se expresa que el valor del límite debe
ser finito, se concluye que el numerador debe ser igual a cero.
1 – a + 1 = 0
a = 2
Como a = 2, entonces el valor del límite es una
indeterminación 0 / 0 y por lo tanto se debe aplicar nuevamente L’Hopital.
4)
Aplicando L’Hopital.
Lim x - >0 [( - 1 / (x + 1) ^ 2) + 2 * sen(x) – 3 * sen(3x) – 9 * x * cos(3x) / 2]
5)
Se evalúa el límite obtenido.
Lim x - >0 [( - 1 / (x + 1) ^ 2) + 2 * sen(x) – 3 * sen(3x) – 9 * x * cos(3x) / 2]
( - 1 / (0 +
1) ^ 2) + 2 * sen(0) – 3 * sen(3 * 0) – 9 * 0 * cos(3 * 0) / 2 = - 1 / 2
El valor del límite es de - 1 / 2.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO
2015 - 2016 MATEMÁTICAS II.
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