Una empresa desea construir latas cilíndricas para contener 1 litro de refresco?

Buenas noches ;

Se trata de un problema de máximos y mínimos.

El volumen de la lata es :

V(r, h) = π.

R². h

V(r, h) = 1 ; entonces : π.

R². h = 1 dm³ (condición).

Entonces.

H = 1 / π.

R²

La superficie de un cilindro es ;

S(r, h) = 2.

Π. r.

(h + r) ;

S(r) = 2.

Π. r.

((1 / π.

R²) + r) ;

S(r) = 2.

Π. r.

((1 + π.

R³) / (π.

R²)) ;

S(r) = 2.

((1 + π.

R³) / r).

Realizamos la primera derivada :

S`(r) = 2.

[(3. π.

R². - 1) / r²]

Iugalamos la primera derivada a "0" y obtenemos valores de "r"

2.

[(3. π.

R². - 1) / r²] = 0 ;

3.

Π. r² - 1 = 0 ;

r = √(1 / 3.

Π). (0.

3257 dm).

Para comprobar si se trata de un máximo o un mínimo realizamos la 2ª derivada ;

S``(r) = 2.

[6. π - 2] / r³.

Sustituimos el valor obtenido.

S``(√(1 / 3π)>0 ; por tanto se trata de un mínimo.

Despejamos h ; h = 1 / π(√1 / 3.

Π)² = 3.

Sol : la altura será 3 dm, y el radio 0.

326 dm.

Un saludo.