Un proyectil es lanzado hacia arriba desde el suelo. La trayectoria del proyectil está dada por la función s(t) = - 4, 5t² + 24t, donde s es la altura y t el tiempo en segundos. A) Calcula la altura del proyectil a los 3 segundos y a los 5 segundos de lanzado B) ¿ Cuánto tiempo tarda el proyectil en caer al suelo? C) ¿Cuanto tiempo tarda el proyectil en alcanzar su altura máxim? ¿cual es su altura máxima que alcanza el proyectil?
En resumen
S(t) = - 4. 5t² + 24t a) Para t = 3 s(3) = - 4. 5(3)² + 24(3) s(3) = - 4. 5(9) + 72 s(3) = - 40. 5 + 72 s(3) = 31. 5 Para t = 3 seg tiene una altura de s = 31. 5 m Para t = 5 s s(5) = - 4. 5(5)² + 24(5) s(5) = - 4. 5(25) + 120 s(5) = - 112. 5 + 120 s(5) = 7.
S(t) = - 4.
5t² + 24t
a) Para t = 3
s(3) = - 4.
5(3)² + 24(3)
s(3) = - 4.
5(9) + 72
s(3) = - 40.
5 + 72
s(3) = 31.
5
Para t = 3 seg tiene una altura de s = 31.
5 m
Para t = 5 s
s(5) = - 4.
5(5)² + 24(5)
s(5) = - 4.
5(25) + 120
s(5) = - 112.
5 + 120
s(5) = 7.
5 m
Para t = 5 seg, tiene una altura s = 7.
5 m
b) El tiempo que le toma llegar al suelo sera cuando s(t) sea igual a 0
s(t) = 0
s(t) = - 4.
5t² + 24t
0 = - 4.
5t² + 24t
4.
5t² + 24t
t² = t * t
t² = 24t / 4.
5
t² = 16t / 3
t = (16t / 3) / t
t = 16 / 3
Cuando t = 16 / 3 segundos vuelve al suelo.
C) Para este punto aplicamos criterio de primera y segunda derivada.
S(t) = - 4.
5t² + 24t
s´(t) = - 9t + 24
Hacemos s´(t) = 0
0 = - 9t + 24
9t = 24
t = 24 / 9
t = 8 / 3
Reemplazamos este valor de t = 8 / 3 para hallar el valor de s
s(t) = - 4.
5t² + 24t
s(8 / 3) = - 4.
5(8 / 3)² + 24(8 / 3)
s(8 / 3) = - 4.
5(64 / 9) + 64
s(8 / 3) = - 32 + 64
s(8 / 3) = 32
s = 32 metros
Ahora hallamos la segunda derivada
s´´(t) = - 9
Es negativa se nos presenta una maximo para ese valor de t = 8 / 3
Tiempo que le toma alcanzar su altura maxima 8 / 3 segundos y altura maxima que alcanza s = 32 metros.
H = - 5(2) + 108 (5) h = 530m.
Cuando hayan pasado 4 s de haber sido lanzado, el proyectil estará a una altura H(4) = 32 m. En tanto que tarda un tiempo x = 3 s en alcanzar su máxima altura. Finalmente la altura máxima que alcanza este proyectil es…