Un planeta gira alrededor de una estrella siguiendo una orbita elíptica. La estrella está situada en uno de los focos. Además, la excentricidad es de 0. 2 y la distancia minina es 40x10 ^ 6. Calcular la distancia máxima y la ecuación de dicha trayectoria.
En resumen
Empecemos la resolución definiendo la ecuación de una elipse : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Empecemos la resolución definiendo la ecuación de una elipse : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7B2%7D%20%7D%7Ba%5E%7B2%7D%20%7D%20%2B%5Cfrac%7B%28y-y_%7B0%7D%29%5E%7B2%7D%20%7D%7Bb%5E%7B2%7D%20%7D%20%3D1" />Siendo a y b los dos ejes de la elipse y (x0, y0) las coordenadas de su centro.
Si el centro es el origen tenemos que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%20%3D1" />Y la excentricidad es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=e%3D%5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%20%7D%20%5C%5C" />En este link brainly.
Lat / tarea / 9962111 se analiza la ecuación de la elipse, al igual que en este otro brainly.
Lat / tarea / 5926064.
Observese aquí que si los ejes son iguales la excentricidad es cero y la elipse degenera en una circunferencia.
Si la estrella está en uno de los focos y el periastro es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=40x10%5E%7B6%7Dm%3D4x10%5E%7B7%7Dm" />, esta es la mínima distancia desde el foco a la curva y si suponemos que el eje focal está en el eje x, tenemos que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D0%5C%5Cx%3Dc%2Bp%20%3D%20c%2B4x10%5E%7B7%7D" />Siendo c la distancia de centro (que dijimos que está en el origen) a uno de los focos y p el periastro.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%20%3D1%5C%5C%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%3D1%5C%5C%5Cfrac%7B%28c%2Bp%29%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%3D1%5C%5C%28c%2Bp%29%5E%7B2%7D%7D%3D%7Ba%5E%7B2%7D" />Tenemos que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=e%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D" />Queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28p%2Bc%29%5E%7B2%7D%3Da%5E%7B2%7D%5C%5C%28p%2Bae%29%5E%7B2%7D%3Da%5E%7B2%7D%5C%5Cp%5E%7B2%7D%2B2pae%2Ba%5E%7B2%7De%5E%7B2%7D%3Da%5E%7B2%7D%5C%5C%284x10%5E%7B7%7D%29%5E%7B2%7D%20%2B%202.0%2C2.4x10%5E%7B7%7D.a%20%2B%200%2C04a%5E%7B2%7D%3Da%5E%7B2%7D%5C%5C1%2C6x10%5E%7B15%7D%2B1%2C6x10%5E%7B7%7Da%20-0%2C96a%5E%7B2%7D%3D0" />Resolvemos entonces la ecuación cuadrática.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%5Cfrac%7B-1%2C6x10%5E%7B7%7D%5C%C2%B1%5Csqrt%7B%281%2C6x10%5E%7B7%7D%29%5E%7B2%7D-4.%28-0%2C96%29.1%2C6x10%5E%7B15%7D%7D%20%7D%7B-2.0%2C96%7D%20%3D%5C%5Ca%3D%5Cfrac%7B-1%2C6x10%5E%7B7%7D%5C%C2%B1%5Csqrt%7B2%2C56x10%5E%7B14%7D%2B6%2C14x10%5E%7B15%7D%7D%20%7D%7B-1%2C92%7D%5C%5Ca%3D%5Cfrac%7B-1%2C6x10%5E%7B7%7D%5C%C2%B1%5Csqrt%7B6%2C4x10%5E%7B15%7D%7D%20%7D%7B-1%2C92%7D%20%3D%205x10%5E7" />Tomé solo el valor positivo que puede tomar a ya que el otro al ser negativo no tiene sentido.
Ahora queda hallar B despejándolo de la ecuación de la excentricidad : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=e%3D%5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%20%7D%20%5C%5C0%2C2%3D%5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%20%7D%5C%5C0%2C04%3D1-%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bb%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%3D0%2C96%5C%5Cb%3D%5Csqrt%7B0%2C96a%5E%7B2%7D%7D%20%3D%204%2C9x10%5E%7B7%7D" />Nos queda que la ecuación de la trayectoria es : [img = 10]Lo que nos dice que [img = 11] es el semieje mayor, la distancia del centro a la elipse en la dirección del eje focal, que también es la máxima distancia del centro a la elipse.
Entonces la distancia del foco al centro es : [img = 12]Para calcular la distancia máxima o apoastro sabiendo que la estrella está en un foco y la distancia focal es 2c debido a que los focos equidistan del centro, esta es : [img = 13]Esta es la distancia máxima del planeta a su sol.
Sabemos que la excentricidad e es : e = c / a siendo : c = semidistancia focal a = semieje mayor = 148, 5 MM Km calculemos c : c = (a)(e) = > c = (148, 5)(0, 017) = > c = 2, 5245 MM Km = > c ≈ 3 MM Km entonces, si…
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